Étape 1
Pour tout réel $x \in ]0,1[$ et pour tout entier $n \ge 1$, on a $0 < x < 1$, d'où $x^{n+1} < x^n$. Comme $1+x > 0$ sur $[0,1]$, on en déduit que pour tout $x \in ]0,1[$ : $$\frac{x^{n+1}}{1+x} < \frac{x^n}{1+x}$$ Par la propriété de conservation de l'ordre de l'intégrale, les fonctions étant continues sur $[0,1]$ et non égales, on obtient : $$\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x} \, \mathrm{d}x < \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, \mathrm{d}x$$ Ce qui prouve que $I_{n+1} < I_n$. La suite $(I_n)_{n \ge 1}$ est donc strictement décroissante.
Étape 2
Par linéarité de l'intégrale, pour tout entier $n \ge 1$ : $$I_n + I_{n+1} = \int_0^1 \frac{x^n + x^{n+1}}{1+x} \, \mathrm{d}x = \int_0^1 \frac{x^n(1+x)}{1+x} \, \mathrm{d}x$$ En simplifiant par le facteur $(1+x)$ qui ne s'annule pas sur $[0,1]$, il vient : $$I_n + I_{n+1} = \int_0^1 x^n \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$$
Étape 3
La suite $(I_n)_{n \ge 1}$ étant strictement décroissante, on a $I_{n+1} < I_n$ pour tout $n \ge 1$. On en tire deux inégalités : d'une part, $2 I_n > I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$, ce qui donne $I_n > \frac{1}{2(n+1)}$ ; d'autre part, $2 I_{n+1} < I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n+1}$, ce qui donne $I_{n+1} < \frac{1}{2(n+1)}$, soit $I_n < \frac{1}{2n}$ pour tout $n \ge 1$. Pour tout $n \ge 1$, on a donc l'encadrement : $$\frac{1}{2(n+1)} < I_n < \frac{1}{2n}$$
Étape 4
On cherche le plus petit entier $n_0 \ge 1$ tel que $I_{n_0} < 0{,}1 = \frac{1}{10}$. Pour $n = 4$, l'encadrement donne $I_4 > \frac{1}{2(4+1)} = \frac{1}{10} = 0{,}1$. Donc $I_4 > 0{,}1$. Pour $n = 5$, l'encadrement donne $I_5 < \frac{1}{2 \times 5} = \frac{1}{10} = 0{,}1$. Donc $I_5 < 0{,}1$. La suite étant strictement décroissante, pour tout $n \ge 5$, on a $I_n \le I_5 < 0{,}1$. Le plus petit entier naturel non nul recherché est donc $n_0 = 5$.
Méthode clé
Combiner la linéarité de l'intégrale pour simplifier la somme de deux termes consécutifs et la monotonie de la suite pour obtenir un encadrement strict du terme général.
Piège à éviter
Chercher à calculer explicitement l'intégrale à l'aide de logarithmes au lieu d'exploiter la relation de récurrence et les encadrements.
