Exercice : Suites d'intégrales et applications

Étape 1

Déterminons dans un premier temps la valeur initiale de la température à $t=0$ : $T(0) = -0^2 + 6 \times 0 + 15 = 15$.

Étape 2

Déterminons l'instant $t > 0$ auquel la température revient à sa valeur initiale en résolvant l'équation $T(t) = 15$. Ce qui équivaut à $-t^2 + 6t + 15 = 15$, soit $-t^2 + 6t = 0$. En factorisant par $t$, on obtient $t(-t + 6) = 0$.

Étape 3

Les solutions sont $t = 0$ et $t = 6$. La phase de réaction s'étend donc sur l'intervalle de temps $[0 ; 6]$, c'est-à-dire une durée de $6$ heures.

Étape 4

Calculons la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $T$ sur l'intervalle $[0 ; 6]$ donnée par la formule : $\mu = \frac{1}{6 - 0} \int_0^6 T(t) \, dt$.

Étape 5

Une primitive de la fonction $T(t) = -t^2 + 6t + 15$ sur $[0 ; 6]$ est la fonction $G$ définie par $G(t) = -\frac{t^3}{3} + 3t^2 + 15t$.

Étape 6

Calculons l'intégrale : $\int_0^6 T(t) \, dt = G(6) - G(0) = \left(-\frac{6^3}{3} + 3 \times 6^2 + 15 \times 6\right) - 0 = -72 + 108 + 90 = 126$.

Étape 7

On en déduit la valeur moyenne : $\mu = \frac{1}{6} \times 126 = 21$. La température moyenne du réacteur durant cette phase est donc de $21\text{ }^\circ\text{C}$.