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6 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (1 notion)

Modélisation de phénomènes discrets

Définition : Un ajout constant par étape se modélise par une suite arithmétique (croissance linéaire) ; un pourcentage fixe par une suite géométrique (croissance exponentielle).

Méthode : 1. Identifier la raison $r$ (ajout) ou $q = 1 + t$ (multiplication). 2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 3. Calculer $u_n$ pour le rang ciblé.

Exemple : Un capital de $1000\text{ €}$ à $2\%$ par an donne $u_n = 1000 \times 1{,}02^n$. Pour $n = 5$ : $u_5 \approx 1104{,}08\text{ €}$.

★ Standard

On construit une suite de figures à l'aide d'allumettes en juxtaposant des carrés en ligne comme illustré ci-dessous.

On note $u_n$ le nombre d'allumettes composant la figure $n$. On a ainsi $u_1 = 4$. Chaque nouvelle figure $n+1$ est obtenue en ajoutant $3$ allumettes à la figure $n$.

Saisir le nombre d'allumettes nécessaires pour construire la figure 35.
★ Standard

Une entreprise achète une machine industrielle d'une valeur de $10\ 000$ € au $1^{\text{er}}$ janvier 2024. Chaque année, la valeur de cette machine diminue de $10\%$.

On note $u_n$ la valeur de la machine au $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $(2024 + n)$, de sorte que $u_0 = 10\ 000$.

En modélisant cette situation par une suite géométrique, déterminer la valeur de la machine au $1^{\text{er}}$ janvier 2027.

Saisir la valeur de la machine au 1er janvier 2027.
★★ Avancé

Un laboratoire étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture. Chaque heure, le nombre de bactéries présentes dans la culture double.

Après 8 heures de culture, la population compte $11\,520$ bactéries.

On souhaite déterminer le nombre de bactéries réintroduites au tout début de l'expérience ($t = 0$).

Saisir la population initiale de bactéries.
★★ Avancé

Une structure est constituée d'une suite de motifs réalisés avec des tiges métalliques.

Le premier motif est formé de $k$ tiges (où $k$ est un entier naturel non nul).

Pour passer d'un motif au motif suivant, on ajoute systématiquement $6$ tiges supplémentaires.

On note $u_n$ le nombre de tiges composant le $n$-ième motif.

Pour réaliser l'ensemble des $15$ premiers motifs, un artisan a utilisé au total $735$ tiges métalliques.

Déterminer la valeur du nombre initial $k$ de tiges composant le premier motif.

Saisir la valeur de $k$.
★★★ Challenge

Dans un éco-quartier, la production d'énergie de deux centrales est suivie à partir de l'année 2020 (correspondant au rang $n = 0$).

  • La Centrale A voit sa production annuelle augmenter chaque année d'une quantité constante. En 2020 ($n = 0$), sa production s'élevait à $2400\text{ MWh}$, et en 2024 ($n = 4$), elle a atteint $3200\text{ MWh}$.
  • La Centrale B voit sa production annuelle diminuer chaque année selon un facteur multiplicatif constant. En 2020 ($n = 0$), sa production s'élevait à $5120\text{ MWh}$, et en 2023 ($n = 3$), elle est tombée à $640\text{ MWh}$.

On note $u_n$ et $v_n$ les productions respectives des centrales A et B lors de l'année $2020 + n$.

Déterminer la valeur exacte de la différence de production $u_{11} - v_{11}$ lors de l'année 2031 ($n = 11$).
★★★ Challenge

Une structure géométrique évolue par étapes successives selon la règle suivante :

  • Au rang 1, la structure initiale comporte $k$ éléments, où $k$ est un entier naturel non nul.
  • À chaque passage du rang $n$ au rang $n+1$ (pour tout $n \ge 1$), on ajoute un ensemble d'éléments. La première extension (du rang 1 au rang 2) ajoute $6$ éléments. Ensuite, chaque nouvelle extension ajoute exactement le double du nombre d'éléments ajoutés lors de l'extension précédente.

Au rang 12, la structure comporte un total de 12 332 éléments.

Saisir la valeur de $k$.