Exercice : Modélisation et approfondissements

Étape 1

Notons $u_n$ le nombre de bactéries présent dans le milieu de culture après $n$ heures.

Étape 2

Puisque la population double chaque heure, chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par $2$. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ :

Étape 3

$$u_{n+1} = 2 \times u_n$$

Étape 4

La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 2$ et de premier terme $u_0$.

Étape 5

D'après la propriété du terme général d'une suite géométrique, pour tout entier naturel $n$ :

Étape 6

$$u_n = u_0 \times q^n = u_0 \times 2^n$$

Étape 7

Au bout de $8$ heures, le nombre de bactéries est égal à $11\,520$, ce qui traduit l'égalité $u_8 = 11\,520$.

Étape 8

En remplaçant $n$ par $8$, nous obtenons :

Étape 9

$$u_8 = u_0 \times 2^8$$

Étape 10

Calculons $2^8$ :

Étape 11

$$2^8 = 256$$

Étape 12

Nous devons donc résoudre l'équation :

Étape 13

$$256 \times u_0 = 11\,520$$

Étape 14

D'où :

Étape 15

$$u_0 = \frac{11\,520}{256} = 45$$

Étape 16

La population initiale était donc de $45$ bactéries.