Exercice : Modélisation et approfondissements

Étape 1

Chaque année, la valeur de la machine diminue de $10\%$. Diminuer une quantité de $10\%$ revient à la multiplier par : $$q = 1 - \frac{10}{100} = 0{,}9$$

Étape 2

La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10\ 000$ et de raison $q = 0{,}9$.

Étape 3

L'année 2027 correspond à $n = 2027 - 2024 = 3$. On cherche donc la valeur du terme $u_3$.

Étape 4

Pour tout entier naturel $n$, l'expression du terme général de la suite géométrique est : $$u_n = u_0 \times q^n$$

Étape 5

En appliquant cette formule pour $n = 3$, on obtient : $$u_3 = 10\ 000 \times 0{,}9^3$$

Étape 6

On calcule $0{,}9^3 = 0{,}729$, d'où : $$u_3 = 10\ 000 \times 0{,}729 = 7\ 290$$

Étape 7

La valeur de la machine au $1^{\text{er}}$ janvier 2027 est égale à $7\ 290$ €.