Exercice : Modélisation et approfondissements

Étape 1

Modélisation de la situation : Chaque motif comporte $6$ tiges de plus que le précédent. Ainsi, pour tout entier $n \ge 1$, on a la relation de récurrence $$u_{n+1} = u_n + 6$$ La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $u_1 = k$ et de raison $d = 6$.

Étape 2

Expression du terme général : Pour tout entier $n \ge 1$, le terme général s'exprime sous la forme $$u_n = u_1 + (n - 1)d = k + 6(n - 1)$$ En particulier, le nombre de tiges composant le $15^{\text{e}}$ motif est $$u_{15} = k + 6 \times (15 - 1) = k + 84$$

Étape 3

Expression de la somme des termes : Le nombre total de tiges utilisées pour réaliser les $15$ premiers motifs correspond à la somme $$S_{15} = u_1 + u_2 + \dots + u_{15}$$ D'après la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique, on a $$S_{15} = 15 \times \frac{u_1 + u_{15}}{2}$$ En remplaçant $u_1$ par $k$ et $u_{15}$ par $k + 84$, on obtient $$S_{15} = 15 \times \frac{k + (k + 84)}{2} = 15 \times \frac{2k + 84}{2} = 15(k + 42)$$

Étape 4

Résolution du problème : L'artisan a utilisé un total de $735$ tiges, ce qui conduit à l'équation $$15(k + 42) = 735$$ En divisant par $15$ de chaque côté, on trouve $$k + 42 = \frac{735}{15} = 49$$ On en déduit $$k = 49 - 42 = 7$$ Le premier motif était donc composé de $7$ tiges.