Exercice : Modélisation et approfondissements

Étape 1

Pour la Centrale A, la production augmente chaque année d'une quantité constante $d$. La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2400$ et de raison $d$.

Étape 2

On sait que $u_4 = u_0 + 4d$. D'après les données d'énoncé : $$3200 = 2400 + 4d$$ Ce qui équivaut à $4d = 800$, d'où $d = 200\text{ MWh/an}$.

Étape 3

On en déduit l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ : $$u_n = 2400 + 200n$$ Pour l'année 2031 ($n = 11$), la production vaut : $$u_{11} = 2400 + 200 \times 11 = 2400 + 2200 = 4600\text{ MWh}$$

Étape 4

Pour la Centrale B, la production diminue chaque année selon un facteur multiplicatif constant $q$. La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $v_0 = 5120$ et de raison $q > 0$.

Étape 5

On sait que $v_3 = v_0 \times q^3$. D'après les données d'énoncé : $$640 = 5120 \times q^3$$ Ce qui équivaut à $$q^3 = \frac{640}{5120} = \frac{1}{8}$$ Comme $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$, on en déduit que $q = 0{,}5$.

Étape 6

On en déduit l'expression de $v_n$ en fonction de $n$ : $$v_n = 5120 \times (0{,}5)^n$$ Pour l'année 2031 ($n = 11$), la production vaut : $$v_{11} = 5120 \times (0{,}5)^{11} = 5120 \times \frac{1}{2048}$$ Or $5120 = 2,5 \times 2048$, donc $v_{11} = 2{,}5\text{ MWh}$.

Étape 7

La différence de production $u_{11} - v_{11}$ lors de l'année 2031 est donc : $$u_{11} - v_{11} = 4600 - 2{,}5 = 4597{,}5\text{ MWh}$$