Étape 1
Soit $a_p$ le nombre d'éléments ajoutés lors de la $p$-ième extension (passage du rang $p$ au rang $p+1$). D'après le texte, la première extension apporte $a_1 = 6$ éléments, et chaque extension suivante en ajoute le double. La suite $(a_p)_{p \ge 1}$ est donc une suite géométrique de premier terme $a_1 = 6$ et de raison $q = 2$. Son terme général s'écrit, pour tout entier $p \ge 1$ : $$a_p = 6 \times 2^{p-1}$$
Étape 2
Soit $u_n$ le nombre total d'éléments au rang $n$. Pour atteindre le rang $n$, la structure initiale de $k$ éléments subit $n-1$ extensions successives. On a donc : $$u_n = k + \sum_{p=1}^{n-1} a_p$$ La somme $\sum_{p=1}^{n-1} a_p$ est la somme des $n-1$ premiers termes de la suite géométrique $(a_p)$. En utilisant la formule de la somme d'une suite géométrique : $$\sum_{p=1}^{n-1} a_p = a_1 \times \frac{1 - q^{n-1}}{1 - q} = 6 \times \frac{1 - 2^{n-1}}{1 - 2} = 6 \times (2^{n-1} - 1)$$ On en déduit l'expression explicite de $u_n$ pour tout $n \ge 1$ : $$u_n = k + 6(2^{n-1} - 1)$$
Étape 3
On sait qu'au rang $n = 12$, la structure comporte $12\ 332$ éléments, c'est-à-dire $u_{12} = 12\ 332$. En remplaçant $n$ par $12$ dans la formule explicite : $$u_{12} = k + 6(2^{11} - 1)$$ Calculons $2^{11}$ : $$2^{11} = 2048$$ Ce qui donne pour la somme des extensions : $$6 \times (2048 - 1) = 6 \times 2047 = 12\ 282$$ On obtient ainsi l'équation : $$k + 12\ 282 = 12\ 332$$ D'où : $$k = 12\ 332 - 12\ 282 = 50$$ La valeur initiale de $k$ est donc $50$.
Méthode clé
Décomposer le nombre total d'éléments au rang $n$ comme la somme de la valeur initiale $k$ et des termes d'une suite géométrique correspondant aux ajouts successifs.
Piège à éviter
Confondre le rang $n$ de la figure avec le nombre d'extensions effectuées (il y a $n-1$ extensions pour passer du rang 1 au rang $n$).
