Généralités sur les suites numériques
L'essentiel du cours (1 notion)
Calcul des termes d'une suite
Définition : Une suite $u$ associe à tout entier $n$ un réel $u_n$. Elle est définie de façon explicite par $u_n = f(n)$ ou par récurrence par $u_{n+1} = f(u_n)$ avec un terme initial $u_0$.
Méthode : • Explicite : remplacer $n$ par sa valeur. • Récurrence : calculer de proche en proche depuis le terme initial. • Algorithme : exécuter la boucle rang par rang.
Exemple : Si $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 1$, alors $u_1 = 3 \times 2 - 1 = 5$ et $u_2 = 14$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la règle suivante :
« Pour obtenir la valeur du terme $u_n$, on calcule le carré de son rang $n$, auquel on ajoute le triple de son rang $n$, puis on retranche $5$. »
En exprimant d'abord la formule algébrique de $u_n$ en fonction de $n$, calculer la valeur du terme $u_5$.
Saisir la valeur de $u_5$.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$u_n = a n^2 - 3n + 10$$où $a$ est un nombre réel fixe.
La moyenne arithmétique des trois premiers termes de cette suite, à savoir $u_0$, $u_1$ et $u_2$, est égale à $9$.
Déterminer la valeur du paramètre $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = 4$ et par la relation :
$$u_{n+1} = 3u_n - 5$$En calculant successivement les termes $u_1$ et $u_2$, déterminer la valeur du terme $u_3$.
Saisir la valeur de $u_3$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n \ge 1$ par :
$$u_n = 2 + \frac{4}{n}$$En calculant les termes $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$, observer le comportement des termes de la suite lorsque $n$ prend de très grandes valeurs.
Saisir la valeur conjecturée de la limite de la suite $(u_n)$.
On considère la fonction écrite en Python ci-dessous :
def calcul():
u = 3
S = 0
for k in range(4):
S = S + u
u = 2 * u - 1
return SSaisir la valeur numérique renvoyée par l'exécution de cette fonction.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \ge 1$ par :
$$u_n = \frac{a \cdot n + 100}{2n + 5}$$
où $a$ est un nombre entier positif inconnu.
Un élève souhaite observer le comportement de cette suite lorsque $n$ prend de très grandes valeurs. Il écrit et exécute le script Python suivant :
def suite(n, a):
return (a * n + 100) / (2 * n + 5)
print(suite(1000000, a))Lors de l'exécution pour la valeur de $a$ recherchée, la console affiche : 17.500036.
En s'appuyant sur cet affichage pour conjecturer la limite de la suite $(u_n)$, déterminer la valeur du paramètre $a$.
Saisir la valeur du paramètre $a$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif.
La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0 = k$ et par la relation :
$$u_{n+1} = \frac{u_n}{1 + u_n}$$On sait que le terme d'indice $20$ vaut $u_{20} = \frac{15}{301}$.
Déterminer la valeur du réel $k$.
Valeur de $k$ :