Exercice : Généralités sur les suites numériques

Étape 1

Pour déterminer la valeur du paramètre $a$, exprimons d'abord les trois premiers termes de la suite $(u_n)$, c'est-à-dire $u_0$, $u_1$ et $u_2$, en fonction de $a$.

Étape 2

En remplissant $n$ par ses valeurs respectives dans la formule $u_n = a n^2 - 3n + 10$, on obtient :

Étape 3

$$u_0 = a \times 0^2 - 3 \times 0 + 10 = 10$$

Étape 4

$$u_1 = a \times 1^2 - 3 \times 1 + 10 = a + 7$$

Étape 5

$$u_2 = a \times 2^2 - 3 \times 2 + 10 = 4a + 4$$

Étape 6

Calculons la somme de ces trois termes :

Étape 7

$$u_0 + u_1 + u_2 = 10 + (a + 7) + (4a + 4) = 5a + 21$$

Étape 8

La moyenne arithmétique de ces trois termes est égale à la somme divisée par $3$, soit $\dfrac{5a + 21}{3}$.

Étape 9

D'après l'énoncé, cette moyenne est égale à $9$, ce qui équivaut à l'équation :

Étape 10

$$\frac{5a + 21}{3} = 9$$

Étape 11

En multipliant chaque membre par $3$, on obtient $5a + 21 = 27$.

Étape 12

En soustrayant $21$ de chaque côté, on trouve $5a = 6$.

Étape 13

Ce qui donne $a = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$.

Étape 14

La valeur du paramètre $a$ est donc $1{,}2$.