Étape 1
Pour déterminer la valeur de $k$, exprimons d'abord les premiers termes de la suite $(u_n)$ en fonction de $k$.
Étape 2
Pour $n = 0$, on a $u_0 = k$.
Étape 3
Pour $n = 1$ : $$u_1 = \frac{u_0}{1 + u_0} = \frac{k}{1 + k}$$
Étape 4
Pour $n = 2$ : $$u_2 = \frac{u_1}{1 + u_1} = \frac{\frac{k}{1 + k}}{1 + \frac{k}{1 + k}} = \frac{\frac{k}{1 + k}}{\frac{1 + 2k}{1 + k}} = \frac{k}{1 + 2k}$$
Étape 5
Pour $n = 3$ : $$u_3 = \frac{u_2}{1 + u_2} = \frac{\frac{k}{1 + 2k}}{1 + \frac{k}{1 + 2k}} = \frac{\frac{k}{1 + 2k}}{\frac{1 + 3k}{1 + 2k}} = \frac{k}{1 + 3k}$$
Étape 6
Par observation de ce motif, pour tout entier naturel $n$, le terme général $u_n$ s'exprime de façon explicite par : $$u_n = \frac{k}{1 + n k}$$
Étape 7
En appliquant cette formule pour $n = 20$, on obtient : $$u_{20} = \frac{k}{1 + 20 k}$$
Étape 8
Or, l'énoncé indique que $u_{20} = \frac{15}{301}$. On résout donc l'équation : $$\frac{k}{1 + 20 k} = \frac{15}{301}$$
Étape 9
En effectuant un produit en croix, cela équivaut à : $$301 k = 15(1 + 20 k)$$ $$301 k = 15 + 300 k$$ $$301 k - 300 k = 15$$ $$k = 15$$
Étape 10
La valeur du réel $k$ est donc $15$.
Méthode clé
Calculer les premiers termes d'une suite définie par récurrence permet d'en conjecturer l'expression explicite $u_n$ en fonction de $n$.
Piège à éviter
Calculer pas à pas les 20 termes sans chercher la forme générale en fonction de $n$.
