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6 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Équation cartésienne et vecteur normal

Propriété : Dans un repère orthonormé, toute droite de vecteur normal non nul $\vec{n}(a;b)$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$.

Méthode : 1. Remplacer $a$ et $b$ par les coordonnées de $\vec{n}$. 2. Injecter un point connu pour calculer $c$.

Exemple : Pour $A(1;2)$ et $\vec{n}(3;-1)$ : $3(1) - (2) + c = 0 \implies c = -1$, d'où $3x - y - 1 = 0$.

Vecteur normal d'une droite

Propriété : Dans un repère orthonormé, toute droite d'équation $ax + by + c = 0$ admet pour vecteur normal $\vec{n}(a;b)$.

Exemple : La droite d'équation $4x - 5y + 7 = 0$ a pour vecteur normal $\vec{n}(4;-5)$.

Projeté orthogonal sur une droite

Définition : Le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ est le point $H \in (d)$ tel que $(AH)$ est perpendiculaire à $(d)$.

Méthode : Pour $H(x;y) \in (d) : ax+by+c=0$, exprimer $\vec{AH} = k\vec{n}(a;b)$ puis résoudre l'équation en $k$.

Exemple : Pour $A(2;3)$ et $(d): x+y-1=0$, $\vec{AH}=k(1;1) \implies (2+k)+(3+k)-1=0 \implies k=-2$, soit $H(0;1)$.

★ Standard

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ d'équation :

$$4x - 3y + 10 = 0$$

On donne également le vecteur $\vec{v}$ de coordonnées $(8\,;\,k)$, où $k$ est un nombre réel. Le vecteur $\vec{v}$ est orthogonal à la droite $(d)$.

Saisir la valeur de $k$.
★ Standard

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$, on considère le point $A(7, -1)$ et la droite $(d)$ d'équation cartésienne $2x - y - 5 = 0$.

On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$.

Pour déterminer les coordonnées du point $H$ :

  • Déterminer une équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ passant par $A$ et perpendiculaire à $(d)$.
  • Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$.

Saisir l'abscisse du point $H$.
★★ Avancé

Dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(2 ; 4)$ et $P(4{,}3 ; 2{,}6)$.

On note $(d)$ la droite passant par les points $A$ et $B$, et $H$ le projeté orthogonal du point $P$ sur la droite $(d)$.

Saisir la valeur de l'abscisse du point $H$.
★★ Avancé

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $(d)$ d'équation cartésienne :

$$6x - 8y + 11 = 0$$

On note $\vec{n}$ le vecteur normal à la droite $(d)$ dont la première coordonnée (l'abscisse) est égale à $15$.

Déterminer la norme du vecteur $\vec{n}$.

Saisir la valeur de la norme de $\vec{n}$.
★★ Avancé

Dans un repère orthonormé, on considère la droite $d$ passant par le point $A(3, -2)$ et admettant le vecteur $\vec{n}(k, 4)$ pour vecteur normal, où $k$ est un nombre réel.

L'équation réduite de la droite $d$ s'écrit sous la forme $y = m x + p$. Sachant que l'ordonnée à l'origine $p$ de cette droite est égale à $1$, déterminer la valeur du paramètre $k$.

Saisir la valeur de $k$.
★★★ Challenge

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $B(-1\,;\,6)$ et $C(3\,;\,-2)$.

Soit $A$ un point d'ordonnée $3$, dont l'abscisse est un réel inconnu noté $m$. On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(BC)$.

Sachant que l'abscisse du point $H$ est égale à $1{,}4$, déterminer la valeur du réel $m$.

Saisir la valeur du réel $m$.