Exercice : Équations cartésiennes et vecteurs normaux

Étape 1

Dans un repère orthonormé, comme le vecteur $\vec{n}(k, 4)$ est un vecteur normal à la droite $d$, une équation cartésienne de $d$ est de la forme : $$k x + 4 y + c = 0$$ où $c$ est un nombre réel.

Étape 2

Le point $A(3, -2)$ appartient à la droite $d$, ses coordonnées vérifient donc son équation : $$k \times 3 + 4 \times (-2) + c = 0$$ ce qui donne $3k - 8 + c = 0$, d'où $c = 8 - 3k$.

Étape 3

Une équation cartésienne de la droite $d$ s'écrit donc en fonction de $k$ : $$k x + 4 y + 8 - 3k = 0$$

Étape 4

Pour déterminer l'équation réduite de $d$, isolons la variable $y$ : $$4 y = -k x + 3k - 8$$ $$y = -\frac{k}{4} x + \frac{3k - 8}{4}$$

Étape 5

L'ordonnée à l'origine $p$ correspond au terme constant de cette équation réduite, soit $p = \frac{3k - 8}{4}$.

Étape 6

L'énoncé indique que l'ordonnée à l'origine est égale à $1$. On obtient l'équation : $$\frac{3k - 8}{4} = 1$$

Étape 7

Résolvons cette équation du premier degré : $$3k - 8 = 4$$ $$3k = 12$$ $$k = 4$$

Étape 8

La valeur du paramètre $k$ est $4$.