Exercice : Équations cartésiennes et vecteurs normaux

Étape 1

Étape 1 : Équation de la droite $(\Delta)$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $A$.

Étape 2

La droite $(d)$ d'équation $2x - y - 5 = 0$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1, 2)$.

Étape 3

Puisque la droite $(\Delta)$ est perpendiculaire à $(d)$, le vecteur $\vec{u}(1, 2)$ est un vecteur normal à $(\Delta)$. Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc de la forme $1 \cdot x + 2 \cdot y + c = 0$, soit $x + 2y + c = 0$.

Étape 4

Le point $A(7, -1)$ appartient à $(\Delta)$, donc ses coordonnées vérifient son équation : $$7 + 2(-1) + c = 0 \iff 5 + c = 0 \iff c = -5$$ Une équation cartésienne de $(\Delta)$ est donc $x + 2y - 5 = 0$.

Étape 5

Étape 2 : Coordonnées du projeté orthogonal $H$.

Étape 6

Le point $H(x_H, y_H)$ est le point d'intersection des droites $(d)$ et $(\Delta)$. Ses coordonnées sont solutions du système : $$\begin{cases} 2x_H - y_H - 5 = 0 \\ x_H + 2y_H - 5 = 0 \end{cases}$$

Étape 7

De la première équation, on extrait $y_H = 2x_H - 5$. En substituant dans la seconde équation, on obtient : $$x_H + 2(2x_H - 5) - 5 = 0$$ $$x_H + 4x_H - 10 - 5 = 0 \iff 5x_H = 15 \iff x_H = 3$$

Étape 8

On calcule ensuite l'ordonnée : $y_H = 2(3) - 5 = 1$. Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3, 1)$. L'abscisse du point $H$ est $3$.