Étape 1
Pour déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$, nous allons chercher les équations cartésiennes de la droite $(d)$ puis de la droite $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $P$.
Étape 2
Déterminons une équation cartésienne de la droite $(d)$ passant par $A(-2 ; 1)$ et $B(2 ; 4)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $$(2 - (-2) ; 4 - 1) = (4 ; 3)$$ La droite $(d)$ a donc une équation de la forme $3x - 4y + c = 0$. Comme $A(-2 ; 1)$ appartient à $(d)$, on a $3(-2) - 4(1) + c = 0$, d'où $c = 10$. Ainsi, une équation cartésienne de $(d)$ est $$3x - 4y + 10 = 0$$
Étape 3
Déterminons une équation cartésienne de la droite $(d')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $P(4{,}3 ; 2{,}6)$. Un vecteur normal à $(d)$ est $\vec{n}(3 ; -4)$, qui est donc un vecteur directeur de $(d')$. Une équation cartésienne de $(d')$ est de la forme $4x + 3y + c' = 0$. Comme $P(4{,}3 ; 2{,}6)$ appartient à $(d')$, on a $4 \times 4{,}3 + 3 \times 2{,}6 + c' = 0$, c'est-à-dire $17{,}2 + 7{,}8 + c' = 0$, soit $25 + c' = 0$, d'où $c' = -25$. Une équation de $(d')$ est donc $$4x + 3y - 25 = 0$$
Étape 4
Le point $H$, projeté orthogonal de $P$ sur $(d)$, est le point d'intersection de $(d)$ et $(d')$. Ses coordonnées vérifient le système : $$\begin{cases} 3x - 4y + 10 = 0 \\ 4x + 3y - 25 = 0 \end{cases}$$ En multipliant la première équation par $3$ et la seconde par $4$, on obtient : $$\begin{cases} 9x - 12y + 30 = 0 \\ 16x + 12y - 100 = 0 \end{cases}$$ En additionnant ces deux équations membre à membre, on élimine $y$ : $$25x - 70 = 0$$ Ce qui donne $25x = 70$, soit $x = \frac{70}{25} = 2{,}8$.
Étape 5
L'abscisse du point $H$ est donc $2{,}8$.
Méthode clé
Le projeté orthogonal H d'un point P sur une droite (d) est le point d'intersection de (d) avec la droite perpendiculaire à (d) passant par P.
Piège à éviter
Confondre vecteur directeur et vecteur normal lors de l'établissement de l'équation de la droite perpendiculaire.
