Étape 1
On commence par déterminer une équation de la droite $(BC)$. Le vecteur $\vec{BC}$ a pour coordonnées : $$\vec{BC}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ -2 - 6 \end{pmatrix} = \vec{BC}\begin{pmatrix} 4 \\ -8 \end{pmatrix}$$
Étape 2
Un vecteur directeur de la droite $(BC)$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$. Une équation cartésienne de $(BC)$ est de la forme $2x + y + c = 0$. Comme le point $B(-1\,;\,6)$ appartient à la droite $(BC)$, ses coordonnées vérifient l'équation : $$2(-1) + 6 + c = 0 \iff 4 + c = 0 \iff c = -4$$ Ainsi, la droite $(BC)$ a pour équation cartésienne $2x + y - 4 = 0$.
Étape 3
Le point $H$ appartient à la droite $(BC)$ et son abscisse est $x_H = 1{,}4$. Son ordonnée $y_H$ vérifie donc : $$2(1{,}4) + y_H - 4 = 0 \iff 2{,}8 + y_H - 4 = 0 \iff y_H = 1{,}2$$ Les coordonnées du projeté orthogonal sont donc $H(1{,}4\,;\,1{,}2)$.
Étape 4
Le point $A$ a pour coordonnées $A(m\,;\,3)$. Le vecteur $\vec{AH}$ a donc pour coordonnées : $$\vec{AH}\begin{pmatrix} 1{,}4 - m \\ 1{,}2 - 3 \end{pmatrix} = \vec{AH}\begin{pmatrix} 1{,}4 - m \\ -1{,}8 \end{pmatrix}$$
Étape 5
Puisque $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$, la droite $(AH)$ est orthogonale à la droite $(BC)$. Le produit scalaire du vecteur $\vec{AH}$ et du vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ est donc nul : $$\vec{AH} \cdot \vec{u} = 0$$
Étape 6
En calculant ce produit scalaire à l'aide des coordonnées, on obtient : $$(1{,}4 - m) \times 1 + (-1{,}8) \times (-2) = 0$$ $$1{,}4 - m + 3{,}6 = 0$$ $$5 - m = 0 \iff m = 5$$
Étape 7
La valeur du réel $m$ est donc $5$.
Méthode clé
Traduire le projeté orthogonal H par deux conditions : H appartient à la droite (BC) et le vecteur AH est orthogonal à la droite (BC).
Piège à éviter
Attention à ne pas confondre les rôles des coordonnées de H et de A lors du calcul du produit scalaire.
