Exercice : Équations cartésiennes et vecteurs normaux

Étape 1

Une droite ayant pour équation cartésienne $ax + by + c = 0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\vec{n}(a\,;\,b)$.

Étape 2

Pour la droite $(d)$ d'équation $4x - 3y + 10 = 0$, on identifie $a = 4$ et $b = -3$. Ainsi, le vecteur $\vec{n}(4\,;\,-3)$ est un vecteur normal à $(d)$.

Étape 3

Par hypothèse, le vecteur $\vec{v}(8\,;\,k)$ est également orthogonal à la droite $(d)$, ce qui signifie qu'il est aussi un vecteur normal à $(d)$.

Étape 4

Deux vecteurs normaux à une même droite sont colinéaires. Il existe donc un réel $\lambda$ tel que :$$\vec{v} = \lambda \vec{n}$$

Étape 5

En comparant les abscisses des deux vecteurs, on obtient :$$8 = \lambda \times 4$$ce qui donne $\lambda = 2$.

Étape 6

En appliquant ce coefficient aux ordonnées, il vient :$$k = 2 \times (-3) = -6$$