Exercice : Équations cartésiennes et vecteurs normaux

Étape 1

Une droite d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ admet pour vecteur normal le vecteur $\vec{n_0}(a; b)$.

Étape 2

L'équation de la droite $(d)$ est $6x - 8y + 11 = 0$. Un premier vecteur normal à $(d)$ est donc $$\vec{n_0}(6; -8)$$

Étape 3

Tout vecteur normal à $(d)$ est colinéaire à $\vec{n_0}$. Il existe donc un réel $k$ tel que $\vec{n} = k \cdot \vec{n_0}$.

Étape 4

On cherche le vecteur $\vec{n}$ dont l'abscisse vaut $15$. On résout l'équation sur la première coordonnée : $$15 = k \times 6 \quad \text{soit} \quad k = \frac{15}{6} = 2{,}5$$

Étape 5

On calcule l'ordonnée du vecteur $\vec{n}$ : $$y_{\vec{n}} = 2{,}5 \times (-8) = -20$$ Le vecteur normal recherché est donc $\vec{n}(15; -20)$.

Étape 6

Le repère étant orthonormé, on calcule la norme du vecteur $\vec{n}$ : $$||\vec{n}|| = \sqrt{15^2 + (-20)^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$$