Division euclidienne, multiples et diviseurs
L'essentiel du cours (5 notions)
Divisibilité par 2, 5 et 10
Propriété : Un nombre entier est divisible par $2$ s'il se termine par $0, 2, 4, 6, 8$ ; par $5$ s'il se termine par $0$ ou $5$ ; par $10$ s'il se termine par $0$.
Exemple : $140$ se termine par $0$, donc il est divisible par $2$, $5$ et $10$. $35$ se termine par $5$, donc il est divisible par $5$.
Division euclidienne : quotient et reste
Définition : Effectuer la division euclidienne d'un entier par un entier non nul, c'est trouver deux entiers : le quotient et le reste, avec un reste compris entre $0$ (inclus) et le diviseur (exclu).
Formule : $\text{Dividende} = \text{Diviseur} \times \text{Quotient} + \text{Reste} \quad (0 \le \text{Reste} < \text{Diviseur})$
Exemple : Pour $17$ divisé par $3$ : $17 = 3 \times 5 + 2$ avec $2 < 3$. Le quotient vaut $5$ et le reste vaut $2$.
Factoriser avec les tables de multiplication
Définition : Factoriser un entier décomposable, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de deux entiers tous deux différents de $1$.
Exemple : Pour factoriser $21$, on cherche dans les tables : $21 = 3 \times 7$ (avec $3 \neq 1$ et $7 \neq 1$).
Critères par 3 et 9
Propriété : Un nombre entier est divisible par $3$ (ou par $9$) si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ (ou de $9$).
Exemple : Pour $423$ : la somme des chiffres est $4 + 2 + 3 = 9$. Comme $9$ est multiple de $3$ et $9$, $423$ est divisible par $3$ et $9$.
Problèmes de partage et de reste
Méthode : 1. Identifier la quantité à partager (dividende) et le diviseur. 2. Effectuer la division euclidienne. 3. Interpréter le quotient et le reste pour répondre au problème.
Exemple : Pour ranger $50$ œufs dans des boîtes de $6$ : $50 = 6 \times 8 + 2$. On remplit $8$ boîtes complètes et il reste $2$ œufs.
On considère la liste de nombres entiers suivante :
$$125 \quad ; \quad 240 \quad ; \quad 318 \quad ; \quad 455 \quad ; \quad 620 \quad ; \quad 734 \quad ; \quad 890$$
Combien de nombres de cette liste sont divisibles à la fois par $2$ et par $5$ ?
Effectuer la division euclidienne de $187$ par $8$.
Saisir le reste de cette division euclidienne.
On souhaite factoriser le nombre $54$ sous la forme d'un produit de deux nombres entiers strictement supérieurs à $1$.
Sachant que l'un des deux facteurs est $6$, on écrit :
$$54 = 6 \times a$$Saisir la valeur de l'entier $a$.
On souhaite écrire le nombre $56$ sous la forme d'un produit de deux nombres entiers strictement supérieurs à $1$.
Sachant que l'un des deux facteurs est $7$, déterminer le second facteur.
Saisir la valeur du second facteur.
On cherche un nombre entier respectant les trois conditions suivantes :
- Il est strictement supérieur à $1\,000$.
- Il est divisible à la fois par $2$ et par $5$.
- Son quotient par $10$ est un nombre impair.
Déterminer le plus petit nombre entier qui vérifie ces conditions.
Lors d'un spectacle, $425$ personnes sont installées dans des rangées de $18$ sièges. Toutes les rangées complètes sont entièrement occupées, et la dernière rangée accueille les personnes restantes.
Combien de personnes sont installées dans cette dernière rangée ?
Saisir le nombre de personnes dans la dernière rangée.
On effectue la division euclidienne de $327$ par un diviseur inconnu. Le quotient obtenu est $14$ et le reste est $5$.
Saisir la valeur de ce diviseur.
On considère deux nombres entiers $k$ et $m$, tous les deux strictement supérieurs à $1$, tels que :
- $k \times m = 63$
- $k - m = 2$
Saisir la valeur de $k$.
On considère le nombre à quatre chiffres $3\,5d4$, où $d$ représente le chiffre des dizaines.
En calculant la somme de ses chiffres, déterminer le chiffre $d$ pour que le nombre $3\,5d4$ soit divisible par $9$.
Saisir la valeur de $d$.
On considère le script Scratch ci-dessous :
Ce script réalise la division euclidienne d'un nombre entier par un autre à l'aide de soustractions successives.
Déterminer le nombre annoncé par le lutin à la fin de l'exécution de ce script.
Saisir la valeur du nombre annoncé par le lutin.
Un artisan chocolatier a fabriqué $185$ chocolats. Il souhaite les ranger dans des boîtes contenant chacune $8$ chocolats.
Combien de boîtes complètes peut-il remplir ?
Saisir le nombre de boîtes complètes.
Un pâtissier a préparé 185 macarons. Il les conditionne dans des boîtes pouvant contenir chacune 8 macarons.
Les boîtes complètes sont vendues au prix de 15 € l'unité, tandis que les macarons restants, qui ne suffisent pas à remplir une boîte entière, sont vendus individuellement au prix de 2 € le macaron.
Le pâtissier vend l'ensemble de sa production.
Saisir le montant total de la recette en euros :
On considère le programme ci-dessous créé avec Scratch.
Quelle est la valeur contenue dans la variable compteur à la fin de l'exécution de ce programme ?
Saisir la valeur de la variable compteur à la fin du programme.
Un libraire range un stock de bandes dessinées dans des cartons identiques, ayant tous la même capacité.
Lorsqu'il remplit $14$ cartons complets, il lui reste $9$ bandes dessinées non rangées.
S'il disposait de $83$ bandes dessinées supplémentaires, il pourrait remplir exactement $18$ cartons complets, sans qu'il n'en reste aucune.
Combien de bandes dessinées le libraire possédait-il au départ ?