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8 ex.

Difficulté :
L'essentiel du cours (3 notions)

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : Succès ($S$) de probabilité $p$ et Échec ($E$) de probabilité $1-p$.

Propriété : Répéter $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes forme un schéma de Bernoulli. Le nombre $X$ de succès suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$.

Méthode : Pour justifier $\mathcal{B}(n,p)$, citer : 2 issues par épreuve, $n$ répétitions identiques et indépendance des épreuves.

Calcul de probabilités binomiales

Formule : $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Méthode : • Pour $P(X \le k)$ et $P(k \le X \le k')$, utiliser la calculatrice (`binomFRép`). • $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$.

Exemple : Si $X \sim \mathcal{B}(10; 0{,}2)$, alors $P(X = 3) = \binom{10}{3} (0{,}2)^3 (0{,}8)^7 \approx 0{,}201$.

Intervalle sous contrainte de probabilité

Méthode : 1. Obtenir la table de $P(X \le k)$ sur calculatrice ou Python. 2. Chercher le premier entier $k$ vérifiant la contrainte imposée.

Exemple : Pour $P(X > k) \le 0{,}05$, chercher à la calculatrice le premier $k$ tel que $P(X \le k) \ge 0{,}95$.

★ Standard

Une entreprise fabrique des composants électroniques. On préleve de manière indépendante $80$ composants sur la chaîne de production. La probabilité qu'un composant soit défectueux est égale à $0{,}05$.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de composants défectueux parmi les $80$ composants prélevés.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres $n$ et $p$.
  2. Calculer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
★ Standard

Une expérience aléatoire consiste à répéter $n$ fois, de manière identique et indépendante, une même épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est $p = 0{,}2$.

Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus à l'issue des $n$ épreuves.

On sait que la probabilité d'obtenir aucun succès est égale à $0{,}512$.

En exprimant d'abord la probabilité $P(X = 0)$ en fonction de $n$, déterminer le nombre $n$ d'épreuves répétées.

Saisir la valeur de $n$.
★ Standard

Un jeu consiste à répéter de manière indépendante et dans des conditions identiques une même expérience aléatoire ayant deux issues : le succès avec une probabilité égale à $0{,}6$, et l'échec.

Le script Python ci-dessous définit une fonction calcul(n) qui prend en paramètre un entier $n \ge 1$ représentant le nombre de répétitions de cette expérience.

def calcul(n):
    p_echec = 1.0
    for i in range(n):
        p_echec = p_echec * 0.4
    return 1.0 - p_echec

Après exécution pour une valeur donnée de $n$, la fonction renvoie $0{,}9744$.

Saisir la valeur de l'entier n.
★ Standard

Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p = 0{,}2$.

Déterminer la plus petite valeur de l'entier $k$ telle que $P(X \le k) \ge 0{,}85$.

Saisir la valeur de l'entier $k$.
★★ Avancé

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(5 ; 0{,}5)$.

On considère la fonction Python ci-dessous, où la fonction comb(n, k) renvoie le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ :

from math import comb

def trouver_seuil():
    p_cumul = 0
    k = 5
    while p_cumul <= 0.4:
        p_k = comb(5, k) * (0.5)**5
        p_cumul = p_cumul + p_k
        k = k - 1
    return k + 1

Saisir la valeur entière renvoyée par la fonction trouver_seuil().
★★ Avancé

Un contrôle de qualité analyse des pièces produites en série par une usine. On sait que la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse est égale à $0{,}1$.

On prélève de manière indépendante un échantillon de $n$ pièces, où $n$ est un entier naturel non nul.

On observe que dans cet échantillon, la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse est égale à $3$ fois la probabilité d'en obtenir aucune défectueuse.

Saisir la valeur de l'entier $n$.
★★ Avancé

On considère une expérience aléatoire composée de $8$ épreuves indépendantes à deux issues, où la probabilité de succès à chaque épreuve est égale à $0{,}5$. La variable aléatoire $X$ compte le nombre total de succès obtenus.

On étudie la fonction Python suivante :

from math import comb

def cherche_k():
    p_cumul = 70 / 256
    k = 0
    while p_cumul < 0.85:
        k = k + 1
        p_cumul = p_cumul + 2 * comb(8, 4 - k) / 256
    return k

Quelle est la valeur renvoyée par l'appel de la fonction cherche_k() ?

Saisir la valeur entière renvoyée par la fonction.
★★ Avancé

Une expérience aléatoire comporte deux issues possibles : le succès avec une probabilité $p = 0{,}2$ et l'échec. On répète cette expérience de manière identique et indépendante $n$ fois.

On considère la fonction suivante rédigée en Python :

def seuil(p, S):
    n = 0
    prob_echec = 1.0
    while 1.0 - prob_echec < S:
        n = n + 1
        prob_echec = prob_echec * (1.0 - p)
    return n

On exécute l'instruction seuil(0.2, 0.6).

Saisir la valeur renvoyée par cet appel de fonction.