Étape 1
Une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(5 ; 0{,}5)$ prend ses valeurs dans $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $5$, la probabilité de l'événement $\{X = k\}$ est donnée par la formule : $$P(X = k) = \binom{5}{k} (0{,}5)^k (1 - 0{,}5)^{5-k} = \binom{5}{k} (0{,}5)^5 = \frac{\binom{5}{k}}{32}$$
Étape 2
Calculons les premières valeurs de probabilités nécessaires à l'analyse de l'algorithme : $$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32} = 0{,}03125$$ $$P(X = 4) = \frac{\binom{5}{4}}{32} = \frac{5}{32} = 0{,}15625$$ $$P(X = 3) = \frac{\binom{5}{3}}{32} = \frac{10}{32} = 0{,}3125$$
Étape 3
Effectuons le déroulement pas à pas de la fonction trouver_seuil() :
Étape 4
Au départ, p_cumul = 0 et k = 5.
Étape 5
Premier tour de boucle : la condition p_cumul <= 0.4 est vérifiée car $0 \le 0{,}4$. On calcule p_k = $P(X = 5) = \frac{1}{32}$. On obtient p_cumul = $\frac{1}{32} = 0{,}03125$, puis k prend la valeur $4$.
Étape 6
Deuxième tour de boucle : la condition est vérifiée car $0{,}03125 \le 0{,}4$. On calcule p_k = $P(X = 4) = \frac{5}{32}$. On obtient p_cumul = $\frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32} = 0{,}1875$, puis k prend la valeur $3$.
Étape 7
Troisième tour de boucle : la condition est vérifiée car $0{,}1875 \le 0{,}4$. On calcule p_k = $P(X = 3) = \frac{10}{32}$. On obtient p_cumul = $\frac{6}{32} + \frac{10}{32} = \frac{16}{32} = 0{,}5$, puis k prend la valeur $2$.
Étape 8
Test d'entrée du quatrième tour : la condition p_cumul <= 0.4 devient fausse car $0{,}5 > 0{,}4$. La boucle while s'arrête.
Étape 9
À la sortie de la boucle, la variable k vaut $2$. La fonction renvoie donc la valeur de k + 1, c'est-à-dire $2 + 1 = 3$.
Méthode clé
Déterminer la loi de probabilité de $X$, puis effectuer la trace de l'algorithme en calculant les sommes cumulées jusqu'à ce que la condition de boucle devienne fausse.
Piège à éviter
Ne pas confondre la valeur de $k$ qui fait sortir de la boucle avec la valeur renvoyée par l'instruction return k + 1.
