Étape 1
Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de pièces défectueuses parmi les $n$ pièces prélevées.
Étape 2
Le prélèvement s'effectuant de manière indépendante, l'expérience constitue une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Le succès consiste à obtenir une pièce défectueuse, de probabilité $p = 0{,}1$.
Étape 3
La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}1$, notée $\mathcal{B}(n ; 0{,}1)$.
Étape 4
Pour tout entier $k$ tel que $0 \le k \le n$, la probabilité d'obtenir $k$ pièces défectueuses s'écrit : $$P(X = k) = \binom{n}{k} (0{,}1)^k (0{,}9)^{n-k}$$
Étape 5
Exprimons cette probabilité pour $k = 0$ et $k = 1$ : $$P(X = 0) = \binom{n}{0} (0{,}1)^0 (0{,}9)^n = 0{,}9^n$$ $$P(X = 1) = \binom{n}{1} (0{,}1)^1 (0{,}9)^{n-1} = n \times 0{,}1 \times 0{,}9^{n-1}$$
Étape 6
L'énoncé précise que la probabilité d'obtenir exactement une pièce défectueuse est égale à $3$ fois celle d'en obtenir aucune : $$P(X = 1) = 3 \times P(X = 0)$$
Étape 7
En remplaçant par les expressions en fonction de $n$, on obtient : $$n \times 0{,}1 \times 0{,}9^{n-1} = 3 \times 0{,}9^n$$
Étape 8
Comme $0{,}9^{n-1}$ est strictement positif, on divise chaque membre par $0{,}9^{n-1}$ : $$0{,}1 n = 3 \times \frac{0{,}9^n}{0{,}9^{n-1}}$$ $$0{,}1 n = 3 \times 0{,}9$$ $$0{,}1 n = 2{,}7$$
Étape 9
En divisant par $0{,}1$, on trouve la valeur de $n$ : $$n = \frac{2{,}7}{0{,}1} = 27$$
Étape 10
L'échantillon comporte donc $27$ pièces.
Méthode clé
Pour simplifier un quotient du type $\frac{(1-p)^n}{(1-p)^{n-1}}$, utiliser la règle des puissances : $\frac{(1-p)^n}{(1-p)^{n-1}} = 1-p$.
Piège à éviter
Oublier le coefficient binomial $\binom{n}{1} = n$ lors du calcul de $P(X=1)$.
