Exercice probabilites, bernoulli, algorithme — Schéma de Bernoulli et loi binomiale (Terminale Spécialité)

★ Standard

Un jeu consiste à répéter de manière indépendante et dans des conditions identiques une même expérience aléatoire ayant deux issues : le succès avec une probabilité égale à $0{,}6$, et l'échec.

Le script Python ci-dessous définit une fonction calcul(n) qui prend en paramètre un entier $n \ge 1$ représentant le nombre de répétitions de cette expérience.

def calcul(n):
    p_echec = 1.0
    for i in range(n):
        p_echec = p_echec * 0.4
    return 1.0 - p_echec

Après exécution pour une valeur donnée de $n$, la fonction renvoie $0{,}9744$.

Saisir la valeur de l'entier n.

Indice 1 : Analysez ce que calcule la variable p_echec après $n$ passages dans la boucle.

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Réponse finale

Étape 1

Analyse du fonctionnement du script Python :

Étape 2

À chaque itération de la boucle for, la variable p_echec est multipliée par $0{,}4$, ce qui correspond à la probabilité d'échec $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ lors d'une épreuve.

Étape 3

Après $n$ itérations, la variable p_echec vaut $0{,}4^n$, ce qui représente la probabilité d'obtenir $n$ échecs consécutifs au cours de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Étape 4

La fonction renvoie $1{,}0 - \text{p\_echec}$, soit la probabilité d'obtenir au moins un succès lors des $n$ épreuves :$$\text{valeur renvoyée} = 1 - 0{,}4^n$$

Étape 5

Détermination de l'entier $n$ :

Étape 6

On sait que la valeur renvoyée est égale à $0{,}9744$. On cherche donc l'entier $n$ vérifiant :$$1 - 0{,}4^n = 0{,}9744$$Ce qui équivaut à :$$0{,}4^n = 1 - 0{,}9744 = 0{,}0256$$

Étape 7

Calculons les puissances successives de $0{,}4$ :

Étape 8

Pour $n = 1$ : $0{,}4^1 = 0{,}4$

Étape 9

Pour $n = 2$ : $0{,}4^2 = 0{,}16$

Étape 10

Pour $n = 3$ : $0{,}4^3 = 0{,}064$

Étape 11

Pour $n = 4$ : $0{,}4^4 = 0{,}0256$

Étape 12

On conclut que $n = 4$.

Méthode clé

Pour retrouver le nombre d'épreuves $n$, exprimer la valeur renvoyée par le script sous la forme $1 - (1-p)^n$, puis résoudre l'équation en calculant les puissances successives de $1-p$.

Piège à éviter

Confondre la probabilité de succès $p = 0{,}6$ avec la probabilité d'échec $1-p = 0{,}4$ utilisée dans la boucle.

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Exercice : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

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