Étape 1
La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès lors d'une répétition de $8$ épreuves de Bernoulli indépendantes et de même probabilité de succès $p = 0{,}5$. La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(8; 0{,}5)$.
Étape 2
Pour tout entier $x \in \{0, 1, \dots, 8\}$, la probabilité d'obtenir $x$ succès est donnée par la formule : $$P(X = x) = \binom{8}{x} (0{,}5)^8 = \frac{\binom{8}{x}}{256}$$ En raison de l'égalité $p = 0{,}5$, la distribution de probabilité est symétrique par rapport à la moyenne $\mu = 8 \times 0{,}5 = 4$. On a ainsi $P(X = 4 - k) = P(X = 4 + k)$ pour tout entier $k \in \{1, 2, 3, 4\}$.
Étape 3
Analyse de l'état initial de la fonction Python : avant d'entrer dans la boucle `while`, $k = 0$ et `p_cumul` est initialisé à $\frac{70}{256}$. Comme $\binom{8}{4} = 70$, cela correspond à $P(X = 4) = \frac{70}{256} \approx 0{,}2734$. La condition `p_cumul < 0.85` est vérifiée ($0{,}2734 < 0{,}85$), donc le programme entre dans la boucle.
Étape 4
Première itération ($k = 1$) : la variable $k$ prend la valeur $1$. Le programme ajoute à `p_cumul` la quantité $2 \times \frac{\binom{8}{3}}{256}$, ce qui correspond à $P(X = 3) + P(X = 5)$. $$P(X = 3) = \frac{\binom{8}{3}}{256} = \frac{56}{256}$$ La nouvelle valeur de `p_cumul` est : $$\text{p\_cumul} = \frac{70}{256} + \frac{2 \times 56}{256} = \frac{182}{256} = \frac{91}{128} \approx 0{,}7109$$ La condition `p_cumul < 0.85` demeure vraie ($0{,}7109 < 0{,}85$), une nouvelle itération est exécutée.
Étape 5
Deuxième itération ($k = 2$) : la variable $k$ prend la valeur $2$. Le programme ajoute à `p_cumul` la quantité $2 \times \frac{\binom{8}{2}}{256}$, ce qui correspond à $P(X = 2) + P(X = 6)$. $$P(X = 2) = \frac{\binom{8}{2}}{256} = \frac{28}{256}$$ La nouvelle valeur de `p_cumul` est : $$\text{p\_cumul} = \frac{182}{256} + \frac{2 \times 28}{256} = \frac{238}{256} = \frac{119}{128} \approx 0{,}9297$$ La valeur obtenue $0{,}9297$ est strictement supérieure à $0{,}85$. La condition `p_cumul < 0.85` devient donc fausse.
Étape 6
La boucle `while` prend fin et la fonction renvoie la valeur actuelle de $k$, c'est-à-dire $2$.
Méthode clé
Exprimer $P(4-k \le X \le 4+k)$ en exploitant la symétrie de la loi binomiale $\mathcal{B}(8; 0{,}5)$ autour de sa moyenne $\mu = 4$.
Piège à éviter
Confondre l'indice d'itération $k$ avec la valeur $4-k$ dans le calcul des combinaisons ou oublier le facteur 2 traduisant la symétrie de la loi.
