Étape 1
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\ ; 0{,}2)$. Pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, la formule du cours donne : $$P(X = k) = \binom{3}{k} \times 0{,}2^k \times (1 - 0{,}2)^{3 - k}$$
Étape 2
Calculons d'abord $P(X = 0)$ : $$P(X = 0) = \binom{3}{0} \times 0{,}2^0 \times 0{,}8^3 = 1 \times 1 \times 0{,}512 = 0{,}512$$
Étape 3
Calculons ensuite $P(X = 1)$ : $$P(X = 1) = \binom{3}{1} \times 0{,}2^1 \times 0{,}8^2 = 3 \times 0{,}2 \times 0{,}64 = 0{,}384$$
Étape 4
Pour déterminer le plus petit entier $k$ tel que $P(X \le k) \ge 0{,}85$, étudions les probabilités cumulées $P(X \le k)$ :
Étape 5
Pour $k = 0$ : $$P(X \le 0) = P(X = 0) = 0{,}512$$ Comme $0{,}512 < 0{,}85$, la condition n'est pas remplie pour $k = 0$.
Étape 6
Pour $k = 1$ : $$P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0{,}512 + 0{,}384 = 0{,}896$$ Comme $0{,}896 \ge 0{,}85$, la condition est vérifiée.
Étape 7
Le plus petit entier $k$ tel que $P(X \le k) \ge 0{,}85$ est donc $1$.
Méthode clé
Pour trouver le plus petit entier $k$ tel que $P(X \le k) \ge \alpha$, on calcule successivement $P(X = 0)$, $P(X = 1)$, etc., puis on accumule les probabilités jusqu'à atteindre ou dépasser le seuil $\alpha$.
Piège à éviter
Ne pas confondre la probabilité ponctuelle $P(X = k)$ et la probabilité cumulée $P(X \le k)$.
