Étape 1
Lors de la répétition de $n$ expériences identiques et indépendantes à deux issues (succès avec une probabilité $p = 0{,}2$ et échec avec une probabilité $1 - p = 0{,}8$), la probabilité de n'obtenir aucun succès en $n$ épreuves est égale à $(0{,}8)^n$.
Étape 2
Par conséquent, la probabilité d'obtenir au moins un succès au cours des $n$ épreuves est égale à $1 - (0{,}8)^n$.
Étape 3
Dans la fonction Python, la variable prob_echec stocke la valeur de $(0{,}8)^n$. La condition de la boucle while s'écrit donc $1 - (0{,}8)^n < 0{,}6$. La boucle continue tant que cette condition est vraie, c'est-à-dire tant que la probabilité d'obtenir au moins un succès est strictement inférieure à $0{,}6$.
Étape 4
Effectuons le traçage pas à pas de la fonction pour l'appel seuil(0.2, 0.6) :
Étape 5
Pour $n = 1$ : $\text{prob\_echec} = 0{,}8$. On a $1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Comme $0{,}2 < 0{,}6$, la condition est vraie.
Étape 6
Pour $n = 2$ : $\text{prob\_echec} = 0{,}8 \times 0{,}8 = 0{,}64$. On a $1 - 0{,}64 = 0{,}36$. Comme $0{,}36 < 0{,}6$, la condition est vraie.
Étape 7
Pour $n = 3$ : $\text{prob\_echec} = 0{,}64 \times 0{,}8 = 0{,}512$. On a $1 - 0{,}512 = 0{,}488$. Comme $0{,}488 < 0{,}6$, la condition est vraie.
Étape 8
Pour $n = 4$ : $\text{prob\_echec} = 0{,}512 \times 0{,}8 = 0{,}4096$. On a $1 - 0{,}4096 = 0{,}5904$. Comme $0{,}5904 < 0{,}6$, la condition est vraie.
Étape 9
Pour $n = 5$ : $\text{prob\_echec} = 0{,}4096 \times 0{,}8 = 0{,}32768$. On a $1 - 0{,}32768 = 0{,}67232$. Comme $0{,}67232 \ge 0{,}6$, la condition devient fausse.
Étape 10
La boucle s'arrête et la fonction renvoie la valeur de $n$, soit $5$.
Méthode clé
Utiliser l'événement contraire pour calculer la probabilité d'obtenir au moins un succès lors de $n$ épreuves indépendantes : $P(\text{au moins un succès}) = 1 - (1-p)^n$.
Piège à éviter
Confondre la probabilité d'obtenir $n$ échecs $(1-p)^n$ avec la probabilité d'obtenir au moins un succès $1 - (1-p)^n$.
