Exercice : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Étape 1

La répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes avec une probabilité de succès $p = 0{,}2$ implique que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}2$.

Étape 2

La probabilité d'obtenir un échec lors d'une épreuve est de $1 - p = 1 - 0{,}2 = 0{,}8$.

Étape 3

Par indépendance des épreuves, la probabilité d'obtenir $0$ succès sur les $n$ épreuves est donnée par la formule : $$P(X = 0) = (1 - p)^n = (0{,}8)^n$$

Étape 4

D'après l'énoncé, on a $P(X = 0) = 0{,}512$, ce qui conduit à l'équation : $$(0{,}8)^n = 0{,}512$$

Étape 5

Calculons les puissances successives de $0{,}8$ :

Étape 6

Pour $n = 1$ : $0{,}8^1 = 0{,}8$

Étape 7

Pour $n = 2$ : $0{,}8^2 = 0{,}64$

Étape 8

Pour $n = 3$ : $0{,}8^3 = 0{,}512$

Étape 9

La valeur recherchée est donc $n = 3$.