Exercice : Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Étape 1

1. L'expérience consiste à répéter $n = 80$ fois le prélèvement d'un composant de manière identique et indépendante.

Étape 2

Chaque prélèvement est une épreuve de Bernoulli comportant deux issues : le succès $S$ « le composant est défectueux » de probabilité $p = 0{,}05$, et l'échec $\overline{S}$ « le composant est conforme » de probabilité $q = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$.

Étape 3

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès obtenus lors de ces $80$ épreuves indépendantes. La variable $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}(80 ; 0{,}05)$.

Étape 4

2. D'après le cours, l'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ est donnée par la formule $E(X) = n \times p$.

Étape 5

On calcule $E(X) = 80 \times 0{,}05 = 4$.

Étape 6

En moyenne, sur un échantillon de $80$ composants, il y a $4$ composants défectueux.