Choix de la forme adaptée & Problèmes
L'essentiel du cours (3 notions)
Signe d'un polynôme factorisé
Propriété : Sous la forme $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$, la fonction s'annule en $x_1$ et $x_2$ et garde le signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle des racines.
Méthode : Dresser un tableau de signes facteur par facteur, ou appliquer directement la règle du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
Exemple : $f(x) = -2(x - 1)(x + 3)$ est strictement positif sur $]-3 ; 1[$ (signe contraire de $a = -2$ à l'intérieur).
Déterminer un polynôme s'annulant en deux réels
Propriété : Tout polynôme du second degré s'annulant en $x_1$ et $x_2$ s'écrit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $a \neq 0$.
Méthode : Écrire la forme factorisée avec $x_1$ et $x_2$, puis déterminer $a$ en injectant les coordonnées d'un point connu $M(x_0 ; y_0)$.
Exemple : Si $f(1)=0$, $f(4)=0$ et $f(0)=8$ : $f(x)=a(x-1)(x-4)$, puis $f(0) = 4a = 8 \implies a = 2$.
Choix de la forme adaptée et extremum
Propriété : Développée $ax^2+bx+c \rightarrow$ ordonnée à l'origine $c$. Factorisée $a(x-x_1)(x-x_2) \rightarrow$ racines. Canonique $a(x-\alpha)^2+\beta \rightarrow$ extremum $\beta$ en $x=\alpha$.
Méthode : Pour résoudre $f(x)=0 \rightarrow$ forme factorisée. Pour un extremum (max/min) $\rightarrow$ forme canonique. Pour calculer $f(0) \rightarrow$ forme développée.
Exemple : $f(x) = 3(x - 2)^2 - 5$ admet un minimum égal à $-5$ atteint en $x = 2$ (car $a = 3 > 0$).
On considère une fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\mathbb{R}$. On sait que les seules racines de $f$ sont $1$ et $5$, et que l'image de $3$ par $f$ est égale à $-8$.
- Exprimer $f(x)$ sous forme factorisée en fonction d'un nombre réel $a$.
- Déterminer la valeur du coefficient $a$.
- En déduire la valeur de $f(6)$.
Indiquer la valeur numérique de $f(6)$.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$. On dispose de trois formes pour son expression :
- Forme A : $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$
- Forme B : $f(x) = -2(x - 3)^2 + 8$
- Forme C : $f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$
En choisissant la forme la plus adaptée pour déterminer l'extremum de la fonction $f$, déterminer sa valeur maximale.
Saisir la valeur du maximum de la fonction f.
Soit $f$ la fonction polynôme du second degré définie pour tout nombre réel $x$ par :
$$f(x) = -3x^2 + bx - 5$$
où $b$ est un nombre réel strictement positif.
On sait que la valeur maximale prise par la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ est égale à $7$.
Saisir la valeur du coefficient $b$.
Une fonction polynôme $f$ du second degré s'annule en $-4$ et en $2$. La courbe représentative de $f$ admet un extremum égal à $13{,}5$.
Saisir la valeur du coefficient de degré $2$ de la fonction $f$.
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (2x - 7)(x + 4)$.
A l'aide d'une étude de signes, déterminer l'ensemble des entiers relatifs $x$ vérifiant l'inégalité $f(x) \le 0$.
Saisir le nombre d'entiers relatifs solutions.