Étape 1
Puisque le coefficient du terme en $x^2$ est $a = -3$, et que $a < 0$, la fonction $f$ admet un maximum absolu sur $\mathbb{R}$.
Étape 2
Notons $\alpha$ l'abscisse du sommet de la parabole représentant $f$. Le maximum de la fonction est atteint en $x = \alpha$ et vaut $\beta = 7$.
Étape 3
La forme canonique de la fonction $f$ s'écrit donc :
Étape 4
$$f(x) = -3(x - \alpha)^2 + 7$$
Étape 5
En développant cette expression, on obtient :
Étape 6
$$f(x) = -3(x^2 - 2\alpha x + \alpha^2) + 7 = -3x^2 + 6\alpha x - 3\alpha^2 + 7$$
Étape 7
Par identification avec l'expression initiale $f(x) = -3x^2 + bx - 5$, on détermine par égalité des coefficients :
Étape 8
1) Pour le terme en $x$ : $b = 6\alpha$
Étape 9
2) Pour le terme constant : $-3\alpha^2 + 7 = -5$
Étape 10
Résolvons l'équation du terme constant :
Étape 11
$$-3\alpha^2 + 7 = -5 \quad \text{ce qui donne} \quad -3\alpha^2 = -12$$
Étape 12
Soit $\alpha^2 = 4$, d'où $\alpha = 2$ ou $\alpha = -2$.
Étape 13
Comme le coefficient $b$ doit être strictement positif et que $b = 6\alpha$, l'abscisse $\alpha$ doit également être strictement positive. On retient donc $\alpha = 2$.
Étape 14
On en déduit la valeur du coefficient $b$ :
Étape 15
$$b = 6 \times 2 = 12$$
Méthode clé
Exprimer la forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ où $\beta$ représente le maximum de la fonction lorsque $a < 0$, puis identifier les coefficients.
Piège à éviter
Ne pas tenir compte de la condition $b > 0$ et conserver la solution négative de l'équation en $b$.
