Étape 1
Comme la fonction polynôme $f$ du second degré s'annule en $-4$ et en $2$, elle admet deux racines distinctes $x_1 = -4$ et $x_2 = 2$. Sa forme factorisée s'écrit donc, pour tout réel $x$ : $$f(x) = a(x - (-4))(x - 2) = a(x + 4)(x - 2)$$ où $a$ est un réel non nul représentant le coefficient de degré $2$.
Étape 2
La courbe représentative de $f$ est une parabole admettant un axe de symétrie. L'abscisse $x_S$ du sommet (où est atteint l'extremum) est la moyenne des deux racines : $$x_S = \frac{-4 + 2}{2} = -1$$
Étape 3
L'extremum de la fonction est égal à $13{,}5$, ce qui signifie que $f(-1) = 13{,}5$. En exprimant $f(-1)$ à l'aide de la forme factorisée, on obtient : $$f(-1) = a(-1 + 4)(-1 - 2) = a \times 3 \times (-3) = -9a$$
Étape 4
On résout l'équation $-9a = 13{,}5$, d'où : $$a = \frac{13{,}5}{-9} = -1{,}5$$ Le coefficient de degré $2$ de la fonction $f$ est donc égal à $-1{,}5$.
Méthode clé
Pour une fonction du second degré s'annulant en $x_1$ et $x_2$, l'extremum est atteint au milieu des racines : $x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
Piège à éviter
Confondre l'abscisse du sommet $x_S$ avec l'ordonnée de l'extremum $f(x_S)$, ou oublier le coefficient $a$ dans la forme factorisée.
