Exercice : Choix de la forme adaptée & Problèmes

Étape 1

Pour étudier le signe de la fonction $f$ définie par $f(x) = (2x - 7)(x + 4)$, cherchons d'abord ses racines.

Étape 2

Les racines sont les solutions de l'équation $f(x) = 0$ : $$2x - 7 = 0 \quad \text{ou} \quad x + 4 = 0$$ ce qui donne $x = \frac{7}{2} = 3{,}5$ ou $x = -4$.

Étape 3

En identifiant le terme de plus haut degré, $f(x) = 2x^2 + x - 28$, on remarque que le coefficient du terme en $x^2$ est $a = 2$, qui est strictement positif ($a > 0$).

Étape 4

Un polynôme du second degré avec $a > 0$ est strictement négatif entre ses racines. L'inéquation $f(x) \le 0$ a donc pour ensemble de solutions l'intervalle fermé : $$S = [-4 ; 3{,}5]$$

Étape 5

Les entiers relatifs appartenant à cet intervalle $S$ sont $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ et $3$.

Étape 6

Il y a donc au total 8 entiers relatifs solutions.