Suites de motifs et formules littérales
L'essentiel du cours (3 notions)
Suites de motifs et régularités
Définition : Une suite de motifs évolue suivant une règle constante d'une étape à la suivante.
Méthode : 1. Observer la différence entre deux étapes successives. 2. Identifier le nombre d'éléments ajoutés à chaque étape. 3. Dessiner ou calculer l'étape suivante.
Exemple : Étape 1 : 3 motifs. Étape 2 : 5 motifs (+2). Étape 3 : 7 motifs (+2). L'étape 4 aura 9 motifs.
Nombre d'éléments d'une étape
Méthode : 1. Identifier le nombre d'éléments au départ (étape 1). 2. Déterminer le nombre d'éléments ajoutés à chaque étape. 3. Pour l'étape $k$, ajouter $(k - 1)$ fois cet ajout au nombre de départ.
Exemple : Étape 1 : 4 carrés. Ajout de 3 carrés par étape. À l'étape 10 : $4 + 9 \times 3 = 31$ carrés.
Produire une formule littérale
Propriété : On peut supprimer le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse : $2 \times n = 2n$ et $a \times b = ab$.
Méthode : 1. Désigner la grandeur variable par une lettre ($n$, $x$, etc.). 2. Traduire le texte en opérations : double ($2x$), successeur ($n + 1$).
Exemple : Périmètre d'un carré de côté $c$ : $P = 4c$. Successeur d'un entier $n$ : $n + 1$.
On construit une suite de figures géométriques à l'aide de bâtonnets de même longueur, selon le modèle ci-dessous :
Une figure de cette suite a été construite en utilisant exactement 46 bâtonnets.
Saisir le numéro de l'étape correspondant à cette figure.
Une suite de motifs est formée à l'aide de petits carrés identiques selon la régularité représentée ci-dessous :
Déterminer le nombre total de petits carrés qui composent le Motif 12.
Saisir le nombre total de petits carrés du Motif 12.
On dispose des allumettes pour former une suite de figures composées de carrés accolés en ligne droite.
Les trois premières étapes sont représentées ci-dessous :
- Étape 1 : $1$ carré ($4$ allumettes) ;
- Étape 2 : $2$ carrés accolés ($7$ allumettes) ;
- Étape 3 : $3$ carrés accolés ($10$ allumettes).
On poursuit cette construction selon la même règle.
Déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour construire la figure à l'étape 20.
On s'intéresse à une suite de figures construites à l'aide d'allumettes :
- Le Motif 1 contient 1 carré et nécessite 4 allumettes.
- Le Motif 2 contient 2 carrés et nécessite 7 allumettes.
- Le Motif 3 contient 3 carrés et nécessite 10 allumettes.
Exprimer le nombre total d'allumettes en fonction du nombre $n$ de carrés, puis déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour construire le motif contenant 12 carrés.
Saisir le nombre total d'allumettes pour 12 carrés.
On s'intéresse à un rectangle dont la largeur mesure $x$ cm. Sa longueur est égale au double de sa largeur.
En exprimant le périmètre de ce rectangle en fonction de $x$, déterminer la valeur de $x$ sachant que son périmètre total est égal à $45\text{ cm}$.
Saisir la valeur de $x$ sans unité.
Un artisan conçoit une suite de motifs à l'aide de carreaux gris et de carreaux blancs.
- Chaque motif possède un cœur central fixe de 4 carreaux gris.
- Autour de ce cœur, 4 branches identiques sont ajoutées. Pour le motif $n$, chaque branche contient exactement $n$ carreaux blancs.
Les motifs 1 et 2 sont représentés ci-dessous :
L'artisan utilise un total de 60 carreaux pour assembler un motif complet.
Saisir le numéro $n$ de ce motif.
On dispose des bâtonnets de même longueur pour construire une suite de motifs formés de carrés accolés en ligne :
- À l'étape 1, le motif comporte 1 carré et nécessite 4 bâtonnets.
- À l'étape 2, le motif comporte 2 carrés accolés et nécessite 7 bâtonnets.
- À l'étape 3, le motif comporte 3 carrés accolés et nécessite 10 bâtonnets.
On poursuit cette construction selon la même régularité.
Déterminer le nombre de bâtonnets nécessaires pour construire le motif de l'étape 50.
On construit une suite de figures géométriques à l'aide d'allumettes de même longueur.
- La Figure 1 est formée d'un carré surmonté d'un toit triangulaire.
- La Figure 2 est formée de deux carrés accolés, surmontés chacun d'un toit triangulaire.
- On poursuit la construction de la même façon pour les figures suivantes.
Saisir le numéro $n$ de la figure qui est formée de $86$ allumettes.