Exercice : Suites de motifs et formules littérales

Étape 1

Pour déterminer le numéro $n$ de la figure, il convient d'abord d'exprimer le nombre total d'allumettes en fonction de $n$.

Étape 2

Déterminons le nombre d'allumettes nécessaires pour la rangée de $n$ carrés accolés : la Figure 1 nécessite $4$ allumettes. Chaque carré supplémentaire ajoute $3$ allumettes (car un côté est partagé). Pour $n$ carrés, la base comporte : $$3n + 1$$ allumettes.

Étape 3

Déterminons le nombre d'allumettes nécessaires pour les toits : chaque carré est surmonté d'un toit formé de $2$ allumettes. Pour $n$ carrés, il y a $n$ toits, soit : $$2n$$ allumettes.

Étape 4

En assemblant les deux parties, le nombre total $T$ d'allumettes pour la figure $n$ s'exprime par : $$T = (3n + 1) + 2n = 5n + 1$$

Étape 5

On cherche le numéro $n$ de la figure comportant $86$ allumettes, ce qui revient à chercher $n$ tel que : $$5n + 1 = 86$$

Étape 6

Le terme $5n$ vaut donc : $$86 - 1 = 85$$

Étape 7

On en déduit la valeur de $n$ : $$n = 85 \div 5 = 17$$

Étape 8

La figure formée de $86$ allumettes est donc la figure $17$.