Exercice suite de motifs, calcul littéral, régularité — Suites de motifs et formules littérales (5ème)

Automatisme

On dispose des allumettes pour former une suite de figures composées de carrés accolés en ligne droite.

Les trois premières étapes sont représentées ci-dessous :

On poursuit cette construction selon la même règle.

Déterminer le nombre d'allumettes nécessaires pour construire la figure à l'étape 20.

Figure donnée à titre indicatif

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Réponse finale

Étape 1

On observe l'évolution du nombre d'allumettes d'une étape à la suivante :

Étape 2

À l'étape 1, il y a $4$ allumettes.

Étape 3

À chaque nouvelle étape, on ajoute un carré accolé au précédent, ce qui utilise $3$ allumettes supplémentaires.

Étape 4

Pour parvenir à l'étape 20, on effectue $19$ augmentations de $3$ allumettes à partir de la première étape :

Étape 5

$$4 + 19 \times 3 = 4 + 57 = 61$$

Étape 6

On peut aussi remarquer que chaque carré nécessite $3$ allumettes, plus $1$ allumette pour fermer le premier carré à gauche :

Étape 7

$$3 \times 20 + 1 = 60 + 1 = 61$$

Étape 8

Le nombre d'allumettes nécessaires à l'étape 20 est donc égal à $61$.

Méthode clé

Identifier l'élément de base (ou le nombre de départ) et la quantité fixe ajoutée à chaque nouvelle étape.

Piège à éviter

Multiplier simplement $4$ par $20$, en oubliant que les carrés partagent des côtés communs.

Exercice : Suites de motifs et formules littérales