Exercice : Suites de motifs et formules littérales

Étape 1

On analyse l'évolution du nombre de bâtonnets à chaque étape :

Étape 2

Pour le premier carré, il faut 4 bâtonnets. Pour chaque carré supplémentaire, 3 nouveaux bâtonnets suffisent car le côté gauche est déjà présent.

Étape 3

On peut décomposer le décompte ainsi : 1 bâtonnet vertical à gauche, puis 3 bâtonnets par carré.

Étape 4

Pour un motif comportant $n$ carrés (étape $n$), le nombre de bâtonnets nécessaires s'exprime donc par la formule : $$3 \times n + 1$$

Étape 5

On vérifie pour les premières étapes : pour $n = 1$, on a $3 \times 1 + 1 = 4$ ; pour $n = 2$, on a $3 \times 2 + 1 = 7$ ; pour $n = 3$, on a $3 \times 3 + 1 = 10$.

Étape 6

Pour l'étape 50, on applique cette formule avec $n = 50$ : $$3 \times 50 + 1 = 150 + 1 = 151$$

Étape 7

Il faut donc 151 bâtonnets pour construire le motif de l'étape 50.