Module, conjugué et représentation
L'essentiel du cours (3 notions)
Module et argument d'un complexe
Définition : Pour $z = a + ib \neq 0$ ($a, b \in \mathbb{R}$), le module est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Un argument $\theta$ vérifie $\cos\theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{b}{|z|}$.
Propriété : Pour $z, z' \in \mathbb{C}^*$ : $|z|^2 = z \overline{z}$, $|z z'| = |z||z'|$, $\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}$ et $\arg(z z') \equiv \arg(z) + \arg(z') \pmod{2\pi}$.
Méthode : 1. Calculer $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$. 2. Factoriser $z$ par $|z|$ pour identifier $\cos\theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{b}{|z|}$. 3. Déduire $\theta \pmod{2\pi}$ avec le cercle trigonométrique.
Représentation géométrique et affixes
Définition : Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$, $M(a; b)$ a pour affixe $z_M = a + ib$. Le point $M'(\overline{z})$ est le symétrique de $M(z)$ par rapport à l'axe réel.
Propriété : Pour $A(z_A)$ et $B(z_B)$, l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est $z_{\vec{AB}} = z_B - z_A$ et la distance $AB$ vaut $AB = |z_B - z_A|$.
Exemple : Si $A(1+2i)$ et $B(4-2i)$, alors $z_{\vec{AB}} = 3-4i$ et la distance $AB = |3-4i| = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5$.
Inégalité triangulaire complexe
Propriété : Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$, $|z + z'| \le |z| + |z'|$. Égalité si et seulement si $z=0$ ou $z'=kz$ ($k \ge 0$), c'est-à-dire si $M(z)$ et $N(z')$ appartiennent à une même demi-droite d'origine $O$.
Méthode : Pour la preuve, développer $|z+z'|^2 = (z+z')(\overline{z}+\overline{z'})$, puis majorer la partie réelle $\mathrm{Re}(z\overline{z'}) \le |z\overline{z'}| = |z||z'|$.
Exemple : Pour $z_1 = 3i$ et $z_2 = 4$, $|3i + 4| = 5$ et $|3i| + |4| = 7$. On vérifie bien $5 < 7$ (inégalité stricte).
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A = 1 + i$ et $z_B = 3 + 4i$. Pour tout réel $k$, on note $C$ le point d'affixe $z_C = k + 7i$.
En déterminant l'affixe du vecteur $\vec{AB}$, justifier qu'il existe une unique valeur du réel $k$ pour laquelle les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Saisir la valeur de $k$.
On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$.
Soit $k$ un nombre réel strictement positif. On considère les nombres complexes :
$$z_1 = \frac{k}{5} + \frac{3}{5}i \quad \text{et} \quad z_2 = \frac{4}{5} + \frac{3}{5}i$$On sait que le nombre complexe $Z = z_1^{-1} \times z_2$ appartient à l'ensemble $\mathbb{U}$.
En utilisant les propriétés du module, de l'inverse et du produit dans $\mathbb{U}$, déterminer la valeur du paramètre $k$.
Saisir la valeur du réel $k$.
Soit $x$ un nombre réel strictement positif.
On considère le nombre complexe $z = x + 12i$.
Sachant que le module de $z$ est égal à $13$, déterminer la valeur du réel $x$.
Saisir la valeur de $x$.
On considère le nombre complexe :
$$z = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$$En calculant d'abord le module de $z$, déterminer son argument principal $\theta \in ]-\pi\,;\,\pi]$.
Cet argument s'écrit sous la forme $\theta = \dfrac{k\pi}{6}$, où $k$ est un entier relatif.
Saisir la valeur de l'entier $k$.
On considère le nombre complexe défini par :
$$z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$$Pour tout entier naturel non nul $n$, on s'intéresse au nombre complexe $z^n$.
Déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n \ge 1$ tel que $z^n$ soit un imaginaire pur.
Pour tout nombre réel $x$, on considère le nombre complexe :
$$z = \frac{x + 7\mathrm{i}}{3 + \mathrm{i}}$$
Déterminer la valeur du réel $x$ pour laquelle un argument de $z$ est égal à $\dfrac{\pi}{4}$.
Saisir la valeur de $x$ sous forme décimale.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{u}, \vec{v})$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives :
- $z_A = 1 + 2\text{i}$
- $z_B = 4 - \text{i}$
- $z_C = k + 5\text{i}$, où $k$ est un nombre réel strictement positif
On note $D$ le point tel que le quadrilatère $ABCD$ soit un parallélogramme.
Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle la distance $OD$ est égale à $10$.
Saisir la valeur de $k$.
On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$.
Soient $u$ et $v$ deux éléments de $\mathbb{U}$ tels que la partie réelle du quotient $\dfrac{u}{v}$ soit égale à $-\dfrac{1}{8}$.
Soit $k$ un nombre réel. On pose :
$$Z = (u + v)\left(\dfrac{k}{u} + \dfrac{k}{v}\right)$$Sachant que $Z = 7$, déterminer la valeur du réel $k$.
Saisir la valeur de $k$.
Soit $k$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. On considère les deux nombres complexes :
$$z_1 = (k^2 - 1) + 8i \text{ et } z_2 = 2 + (k - 1)i$$Par une démonstration rigoureuse, déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour laquelle l'égalité suivante est vérifiée :
$$|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$$Saisir la valeur de $k$.
On considère les nombres complexes $z_1 = 4 + 3\text{i}$ et $z_2 = (2k - 1) + (k + 3)\text{i}$, où $k$ est un nombre réel.
On cherche à déterminer la valeur du paramètre $k$ pour laquelle le module de la somme est égal à la somme des modules :
$$|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$$Saisir la valeur numérique exacte du réel $k$.