Exercice : Module, conjugué et représentation

Étape 1

Calculons l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $$z_{\vec{AB}} = z_B - z_A = (3 + 4i) - (1 + i) = 2 + 3i$$

Étape 2

Exprimons l'affixe du vecteur $\vec{AC}$ en fonction du réel $k$ : $$z_{\vec{AC}} = z_C - z_A = (k + 7i) - (1 + i) = (k - 1) + 6i$$

Étape 3

Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un nombre réel $\lambda$ tel que : $$z_{\vec{AC}} = \lambda z_{\vec{AB}}$$ Ce qui donne l'égalité de nombres complexes : $$(k - 1) + 6i = \lambda (2 + 3i) = 2\lambda + 3\lambda i$$

Étape 4

Par identification des parties réelles et imaginaires, on obtient le système d'équations réelles : $$\begin{cases} k - 1 = 2\lambda \\ 6 = 3\lambda \end{cases}$$

Étape 5

La seconde équation donne directement $\lambda = 2$. En substituant cette valeur dans la première équation, il vient : $$k - 1 = 2 \times 2 = 4$$ D'où $k = 5$.

Étape 6

La valeur unique du réel $k$ pour laquelle les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés est donc $5$.