Exercice : Module, conjugué et représentation

Étape 1

Par définition, un nombre complexe $z$ appartient à l'ensemble $\mathbb{U}$ si et seulement si son module est égal à $1$, c'est-à-dire $|z| = 1$.

Étape 2

Calculons d'abord le module du nombre complexe $z_2$ : $$|z_2| = \sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1$$ Le nombre complexe $z_2$ appartient donc à $\mathbb{U}$.

Étape 3

Par hypothèse, $Z = z_1^{-1} \times z_2$ appartient à $\mathbb{U}$, ce qui signifie que $|Z| = 1$.

Étape 4

En utilisant les propriétés du module d'un produit et de l'inverse d'un nombre complexe non nul, on a : $$|Z| = |z_1^{-1} \times z_2| = |z_1^{-1}| \times |z_2| = \frac{1}{|z_1|} \times |z_2|$$

Étape 5

Puisque $|z_2| = 1$, on obtient : $$|Z| = \frac{1}{|z_1|} \times 1 = \frac{1}{|z_1|}$$ L'égalité $|Z| = 1$ implique donc que $\frac{1}{|z_1|} = 1$, d'où $|z_1| = 1$.

Étape 6

Calculons le module de $z_1$ en fonction de $k$ : $$|z_1| = \sqrt{\left(\frac{k}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{k^2 + 9}{25}}$$

Étape 7

L'égalité $|z_1| = 1$ équivaut à : $$\sqrt{\frac{k^2 + 9}{25}} = 1$$ En élevant au carré, on obtient $\frac{k^2 + 9}{25} = 1$, soit $k^2 + 9 = 25$, ce qui donne $k^2 = 16$.

Étape 8

Comme le paramètre $k$ est un réel strictement positif, on conclut que $k = 4$.