Étape 1
D'après les propriétés du cours sur l'inégalité triangulaire, pour tous nombres complexes $z_1$ et $z_2$, on a $|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$. Le nombre complexe $z_2$ étant non nul (sa partie réelle vaut $2$), l'égalité $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ a lieu si et seulement s'il existe un nombre réel $\lambda \ge 0$ tel que : $$z_1 = \lambda z_2$$
Étape 2
En remplaçant $z_1$ et $z_2$ par leurs expressions algébriques, cette condition s'écrit : $$(k^2 - 1) + 8i = \lambda \big(2 + (k - 1)i\big)$$
Étape 3
Par identification des parties réelles et des parties imaginaires, cela équivaut au système d'équations réelles suivant : $$\begin{cases} k^2 - 1 = 2\lambda \\ 8 = \lambda(k - 1) \end{cases}$$
Étape 4
Comme $k > 1$, la quantité $k - 1$ est strictement positive. La seconde équation permet d'exprimer $\lambda$ en fonction de $k$ : $$\lambda = \frac{8}{k - 1}$$
Étape 5
En injectant cette expression de $\lambda$ dans la première équation, on obtient : $$k^2 - 1 = 2 \times \frac{8}{k - 1}$$
Étape 6
En multipliant les deux membres par $k - 1$, on en déduit : $$(k^2 - 1)(k - 1) = 16$$
Étape 7
En développant le membre de gauche, on a $(k - 1)^2 (k + 1) = (k^2 - 2k + 1)(k + 1) = k^3 - k^2 - k + 1$. L'équation devient alors : $$k^3 - k^2 - k - 15 = 0$$
Étape 8
Cherchons une solution entière à cette équation. En testant $k = 3$, on calcule : $$3^3 - 3^2 - 3 - 15 = 27 - 9 - 3 - 15 = 0$$ Donc $3$ est une racine de ce polynôme.
Étape 9
On peut alors factoriser le polynôme par $(k - 3)$ : $$k^3 - k^2 - k - 15 = (k - 3)(k^2 + 2k + 5)$$
Étape 10
Étudions le facteur du second degré $k^2 + 2k + 5$. Son discriminant vaut : $$\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$ Le discriminant étant strictement négatif, ce facteur ne possède aucune racine réelle. La seule valeur réelle solution de l'équation est donc $k = 3$.
Étape 11
Vérifions enfin la condition de positivité sur $\lambda$ pour $k = 3$ : $$\lambda = \frac{8}{3 - 1} = 4$$ Comme $4 \ge 0$, le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire est bien réalisé.
Étape 12
La valeur du paramètre réel $k$ recherchée est $3$.
Méthode clé
Pour deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$ (avec $z_2 \neq 0$), l'égalité $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ est vérifiée si et seulement s'il existe un réel $\lambda \ge 0$ tel que $z_1 = \lambda z_2$.
Piège à éviter
Élever brutalement les modules au carré avec des expressions littérales complexes, ce qui conduit à des calculs très lourds, ou oublier de vérifier que le réel de colinéarité $\lambda$ est bien positif.
