Étape 1
On commence par déterminer la forme algébrique du nombre complexe $z$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, soit $3 - \mathrm{i}$ :
Étape 2
$$z = \frac{(x + 7\mathrm{i})(3 - \mathrm{i})}{(3 + \mathrm{i})(3 - \mathrm{i})} = \frac{3x - x\mathrm{i} + 21\mathrm{i} - 7\mathrm{i}^2}{3^2 - \mathrm{i}^2}$$
Étape 3
Comme $\mathrm{i}^2 = -1$, on obtient :
Étape 4
$$z = \frac{3x + 7 + \mathrm{i}(21 - x)}{9 - (-1)} = \frac{3x + 7}{10} + \mathrm{i}\,\frac{21 - x}{10}$$
Étape 5
Un nombre complexe non nul $z$ admet pour argument $\dfrac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$ si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont égales et strictement positives :
Étape 6
$$\text{Re}(z) = \text{Im}(z) \quad \text{et} \quad \text{Re}(z) > 0$$
Étape 7
L'égalité des parties réelle et imaginaire donne :
Étape 8
$$\frac{3x + 7}{10} = \frac{21 - x}{10}$$
Étape 9
Ce qui équivaut à $3x + 7 = 21 - x$, d'où $4x = 14$, soit $x = 3{,}5$.
Étape 10
On vérifie enfin la condition de stricte positivité : pour $x = 3{,}5$, on a $\text{Re}(z) = \dfrac{3 \times 3{,}5 + 7}{10} = \dfrac{17{,}5}{10} = 1{,}75 > 0$. La valeur cherchée est donc bien $3{,}5$.
Méthode clé
Pour exploiter une condition sur l'argument d'un quotient, exprimer d'abord le nombre sous forme algébrique $a + b\mathrm{i}$. Un argument vaut $\frac{\pi}{4}$ modulo $2\pi$ lorsque $a = b > 0$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier la condition de positivité : l'égalité de la partie réelle et de la partie imaginaire caractérise aussi les arguments congrus à $-\frac{3\pi}{4}$.
