Exercice : Module, conjugué et représentation

Étape 1

On calcule d'abord le module de $z = -2\sqrt{3} + 2\text{i}$ :

Étape 2

$$|z| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$

Étape 3

On cherche ensuite l'argument principal $\theta \in ]-\pi\,;\,\pi]$ de $z$. Par définition :

Étape 4

$$\cos \theta = \frac{\text{Re}(z)}{|z|} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Étape 5

$$\sin \theta = \frac{\text{Im}(z)}{|z|} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Étape 6

Puisque $\cos \theta < 0$ et $\sin \theta > 0$, l'angle $\theta$ se situe dans le deuxième quadrant. On en déduit :

Étape 7

$$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

Étape 8

L'argument principal s'écrit donc bien sous la forme $\dfrac{k\pi}{6}$ avec $k = 5$.