Exercice : Module, conjugué et représentation

Étape 1

Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si : $$\vec{AB} = \vec{DC}$$ En passant aux affixes, cette condition s'écrit : $$z_B - z_A = z_C - z_D$$

Étape 2

On exprime l'affixe du vecteur $\vec{AB}$ : $$z_{\vec{AB}} = (4 - \text{i}) - (1 + 2\text{i}) = 3 - 3\text{i}$$ On en déduit l'expression de l'affixe $z_D$ en fonction de $k$ : $$z_D = z_C - (z_B - z_A) = (k + 5\text{i}) - (3 - 3\text{i}) = (k - 3) + 8\text{i}$$

Étape 3

La distance $OD$ correspond au module de l'affixe de $D$ : $$OD = |z_D| = \sqrt{(k - 3)^2 + 8^2}$$ La condition $OD = 10$ équivaut successivement à : $$\sqrt{(k - 3)^2 + 64} = 10$$ $$(k - 3)^2 + 64 = 100$$ $$(k - 3)^2 = 36$$

Étape 4

On obtient deux solutions réelles pour $k - 3$ : soit $k - 3 = 6$, ce qui donne $k = 9$ ; soit $k - 3 = -6$, ce qui donne $k = -3$. Comme $k$ est strictement positif par hypothèse, on en déduit que $k = 9$.