Exercice : Module, conjugué et représentation

Étape 1

Soit $z = x + 12i$ avec $x > 0$. La partie réelle de $z$ est $\text{Re}(z) = x$ et sa partie imaginaire est $\text{Im}(z) = 12$.

Étape 2

Par définition, le module d'un nombre complexe $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. On a donc :$$|z| = \sqrt{x^2 + 12^2} = \sqrt{x^2 + 144}$$

Étape 3

D'après l'énoncé, le module de $z$ vaut $13$. Ce qui équivaut à :$$\sqrt{x^2 + 144} = 13$$

Étape 4

En élevant les deux membres au carré (qui sont tous deux positifs) :$$x^2 + 144 = 13^2$$$$x^2 + 144 = 169$$

Étape 5

On en déduit :$$x^2 = 169 - 144 = 25$$

Étape 6

Comme $x$ est un réel strictement positif, on obtient $x = \sqrt{25} = 5$.