Étape 1
Pour déterminer les caractéristiques géométriques de $z$, posons $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$.
Étape 2
Calculons d'abord le module et un argument de $z_1$ :
Étape 3
$$|z_1| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$$
Étape 4
On a $z_1 = 2 \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, ce qui donne $\arg(z_1) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$.
Étape 5
Calculons ensuite le module et un argument de $z_2$ :
Étape 6
$$|z_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$
Étape 7
On a $z_2 = \sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, ce qui donne $\arg(z_2) \equiv -\frac{\pi}{4} \pmod{2\pi}$.
Étape 8
Par propriété de l'argument d'un quotient, un argument de $z = \frac{z_1}{z_2}$ est donné par :
Étape 9
$$\arg(z) \equiv \arg(z_1) - \arg(z_2) \pmod{2\pi}$$
Étape 10
$$\arg(z) \equiv \frac{\pi}{3} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) \equiv \frac{4\pi + 3\pi}{12} \equiv \frac{7\pi}{12} \pmod{2\pi}$$
Étape 11
Par propriété de l'argument d'une puissance, pour tout entier $n \ge 1$, on a :
Étape 12
$$\arg(z^n) \equiv n \times \arg(z) \equiv \frac{7n\pi}{12} \pmod{2\pi}$$
Étape 13
Le nombre complexe $z^n$ est un imaginaire pur si et seulement si son argument est un multiple impair de $\frac{\pi}{2}$, ce qui équivaut à l'existence d'un entier $k \in \mathbb{Z}$ tel que :
Étape 14
$$\frac{7n\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k\pi$$
Étape 15
En divisant l'égalité par $\pi$ puis en multipliant par $12$, cette condition équivaut à :
Étape 16
$$7n = 6 + 12k$$
Étape 17
Ce qui traduit la congruence :
Étape 18
$$7n \equiv 6 \pmod{12}$$
Étape 19
Testons les premières valeurs entières pour $n \ge 1$ :
Étape 20
Pour $n = 1$ : $7 \times 1 = 7 \not\equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 21
Pour $n = 2$ : $7 \times 2 = 14 \equiv 2 \not\equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 22
Pour $n = 3$ : $7 \times 3 = 21 \equiv 9 \not\equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 23
Pour $n = 4$ : $7 \times 4 = 28 \equiv 4 \not\equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 24
Pour $n = 5$ : $7 \times 5 = 35 \equiv 11 \not\equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 25
Pour $n = 6$ : $7 \times 6 = 42 = 36 + 6 \equiv 6 \pmod{12}$.
Étape 26
Le plus petit entier naturel non nul $n$ tel que $z^n$ soit un imaginaire pur est donc $6$.
Méthode clé
Pour qu'un nombre complexe soit imaginaire pur, son argument doit être de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Les propriétés algébriques des arguments permettent de transformer les puissances et quotients en additions et soustractions d'angles.
Piège à éviter
Confondre la condition d'un imaginaire pur (argument égal à $\frac{\pi}{2} \pmod{\pi}$) avec celle d'un réel négatif (argument égal à $\pi \pmod{2\pi}$).
