Étape 1
Établissons d'abord la condition nécessaire et suffisante pour avoir égalité dans l'inégalité triangulaire. Pour deux nombres complexes $z_1$ et $z_2$, l'égalité $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$ équivaut à l'égalité de leurs carrés :
Étape 2
$$|z_1 + z_2|^2 = (|z_1| + |z_2|)^2$$
Étape 3
En développant le membre de gauche à l'aide de la propriété $|z|^2 = z \overline{z}$, on obtient :
Étape 4
$$(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = |z_1|^2 + z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 + |z_2|^2$$
Étape 5
Comme $\overline{z_1} z_2 = \overline{z_1 \overline{z_2}}$, la somme $z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2$ vaut $2 \text{Re}(z_1 \overline{z_2})$. L'égalité devient alors :
Étape 6
$$|z_1|^2 + 2 \text{Re}(z_1 \overline{z_2}) + |z_2|^2 = |z_1|^2 + 2 |z_1| |z_2| + |z_2|^2$$
Étape 7
Ce qui équivaut à :
Étape 8
$$\text{Re}(z_1 \overline{z_2}) = |z_1| |z_2| = |z_1 \overline{z_2}|$$
Étape 9
Un nombre complexe a sa partie réelle égale à son module si et seulement si ce nombre complexe est un réel positif ou nul. Ainsi, $z_1 \overline{z_2} \ge 0$. Comme $z_1 \neq 0$, cela équivaut à l'existence d'un réel $\alpha \ge 0$ tel que :
Étape 10
$$z_2 = \alpha z_1$$
Étape 11
En identifiant avec les expressions de l'énoncé $z_1 = 4 + 3\text{i}$ et $z_2 = (2k - 1) + (k + 3)\text{i}$, nous obtenons :
Étape 12
$$(2k - 1) + (k + 3)\text{i} = 4\alpha + 3\alpha\text{i}$$
Étape 13
Par identification des parties réelles et imaginaires, on forme le système :
Étape 14
$$\begin{cases} 2k - 1 = 4\alpha \\ k + 3 = 3\alpha \end{cases}$$
Étape 15
De la seconde équation, on extrait $\alpha = \frac{k + 3}{3}$. En substituant dans la première équation :
Étape 16
$$2k - 1 = 4 \times \frac{k + 3}{3}$$
Étape 17
Ce qui équivaut successivement à :
Étape 18
$$3(2k - 1) = 4(k + 3)$$
Étape 19
$$6k - 3 = 4k + 12$$
Étape 20
$$2k = 15 \implies k = 7{,}5$$
Étape 21
Vérifions enfin la condition de positivité sur $\alpha$ :
Étape 22
$$\alpha = \frac{7{,}5 + 3}{3} = \frac{10{,}5}{3} = 3{,}5 \ge 0$$
Étape 23
La valeur recherchée est donc $k = 7{,}5$.
Méthode clé
Pour déterminer les cas d'égalité $|z + z'| = |z| + |z'|$, utiliser l'élévation au carré du module pour montrer que $z'$ doit être un multiple réel positif de $z$.
Piège à éviter
Oublier de vérifier la condition de positivité du coefficient de proportionnalité $\alpha \ge 0$.
