Étape 1
On factorise par le réel $k$ dans la seconde parenthèse de l'expression de $Z$ : $$Z = k(u + v)\left(\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\right)$$
Étape 2
En développant le produit, on obtient : $$(u + v)\left(\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\right) = \dfrac{u}{u} + \dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u} + \dfrac{v}{v} = 2 + \dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u}$$
Étape 3
Comme $u \in \mathbb{U}$ et $v \in \mathbb{U}$, on a $|u| = 1$ et $|v| = 1$. L'ensemble $\mathbb{U}$ est stable par passage à l'inverse et par produit, donc le quotient $w = \dfrac{u}{v} = u \times \dfrac{1}{v}$ appartient à $\mathbb{U}$.
Étape 4
Puisque $|w| = 1$, son inverse est égal à son conjugué : $$\dfrac{1}{w} = \overline{w}$$ On en déduit que : $$\dfrac{u}{v} + \dfrac{v}{u} = w + \dfrac{1}{w} = w + \overline{w} = 2\operatorname{Re}(w)$$
Étape 5
D'après l'énoncé, $\operatorname{Re}\left(\dfrac{u}{v}\right) = -\dfrac{1}{8}$, ce qui donne : $$(u + v)\left(\dfrac{1}{u} + \dfrac{1}{v}\right) = 2 + 2 \times \left(-\dfrac{1}{8}\right) = 2 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}$$
Étape 6
On en déduit l'expression de $Z$ en fonction de $k$ : $$Z = k \times \dfrac{7}{4}$$ Comme $Z = 7$, on résout l'équation : $$k \times \dfrac{7}{4} = 7$$ d'où $k = 7 \times \dfrac{4}{7} = 4$.
Méthode clé
Pour tout élément $w \in \mathbb{U}$, on a $|w| = 1$, ce qui implique que son inverse est égal à son conjugué : $\dfrac{1}{w} = \overline{w}$, et par suite $w + \dfrac{1}{w} = 2\operatorname{Re}(w)$.
Piège à éviter
Chercher à déterminer individuellement la forme algébrique ou trigonométrique de $u$ et $v$, alors que seule l'étude globale du quotient $\dfrac{u}{v}$ dans $\mathbb{U}$ est requise.
