Propriétés algébriques et calculs avec l'exponentielle
L'essentiel du cours (1 notion)
Dérivée et variations de $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$
Propriété : Pour $a \in \mathbb{R}$, $f(t) = \mathrm{e}^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Comme $\mathrm{e}^{at} > 0$, le signe de $f'(t)$ dépend uniquement de $a$.
Formule : $(\mathrm{e}^{at})' = a \mathrm{e}^{at}$
Méthode : Si $a > 0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Si $a < 0$, $f$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ par $f(t) = e^{-5t}$.
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
- Déterminer l'expression de $f'(t)$ pour tout réel $t$.
- En déduire la valeur numérique de $f'(0)$.
Saisir la valeur de $f'(0)$.
Soit $x$ un nombre réel. On considère l'expression suivante :
$$A(x) = \frac{6 \mathrm{e}^{5x-1} \times \mathrm{e}^{3-2x}}{2 \mathrm{e}^{3x+2}}$$En simplifiant le numérateur puis en effectuant le quotient, déterminer la valeur de $A(x)$.
Saisir la valeur de $A(x)$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $$f(t) = (3t - 2)\mathrm{e}^{at}$$ où $a$ est un nombre réel non nul.
On sait que la courbe représentative de la fonction $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $t = 1$.
Déterminer la valeur du paramètre $a$.
Saisir la valeur de $a$.
Pour tout réel $x$, on considère l'expression :
$$E(x) = \frac{(e^{2x-1})^4 \cdot e^{-3x+5}}{e^{5x-7}}$$On admet que pour tout réel $x$, $E(x)$ est constante et s'écrit sous la forme $e^k$, où $k$ est un nombre entier.
Saisir la valeur de l'entier $k$.