Exercice : Propriétés algébriques et calculs avec l'exponentielle

Étape 1

D'après le cours, pour tout réel $a$, la fonction $t \mapsto e^{at}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée est la fonction $t \mapsto a e^{at}$.

Étape 2

Ici, pour la fonction $f(t) = e^{-5t}$, la valeur du coefficient est $a = -5$. On en déduit l'expression de la dérivée : $$f'(t) = -5 e^{-5t}$$

Étape 3

Pour calculer $f'(0)$, on remplace $t$ par $0$ dans l'expression de $f'(t)$ : $$f'(0) = -5 e^{-5 \times 0} = -5 e^0$$

Étape 4

Comme $e^0 = 1$, on obtient : $$f'(0) = -5 \times 1 = -5$$