Étape 1
La courbe représentative de $f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $t = 1$ si et seulement si le nombre dérivé en ce point est nul, ce qui se traduit par $f'(1) = 0$.
Étape 2
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables. On pose $u(t) = 3t - 2$ et $v(t) = \mathrm{e}^{at}$. Leurs dérivées respectives sont $u'(t) = 3$ et $v'(t) = a\mathrm{e}^{at}$.
Étape 3
En appliquant la formule de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$, on obtient pour tout réel $t$ : $$f'(t) = 3\mathrm{e}^{at} + (3t - 2)a\mathrm{e}^{at} = \mathrm{e}^{at}\left(3 + a(3t - 2)\right)$$
Étape 4
En évaluant la fonction dérivée en $t = 1$, il vient : $$f'(1) = \mathrm{e}^{a \times 1}\left(3 + a(3 \times 1 - 2)\right) = \mathrm{e}^a(a + 3)$$
Étape 5
On résout désormais l'équation $f'(1) = 0$ : $$\mathrm{e}^a(a + 3) = 0$$
Étape 6
Pour tout réel $a$, la fonction exponentielle vérifie $\mathrm{e}^a > 0$. On en déduit que $\mathrm{e}^a \neq 0$. L'équation est donc équivalente à : $$a + 3 = 0 \quad \text{c'est-à-dire} \quad a = -3$$
Méthode clé
Une courbe représentative admet une tangente horizontale en un point d'abscisse $t_0$ si et seulement si $f'(t_0) = 0$. La dérivée de $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ est $t \mapsto a\mathrm{e}^{at}$.
Piège à éviter
Oublier d'appliquer la règle de dérivation d'un produit $(uv)' = u'v + uv'$, ou oublier que $\mathrm{e}^a$ est strictement positif et ne s'annule jamais.
